Il francese Pierre de Fermat (1601-1665), avvocato di professione e matematico per diletto, leggendo la "Aritmetica" di Diofanto, scrisse* sul margine di una pagina di poter dimostrare il seguente teorema:

L'equazione diofantea:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, "n > 2

non ammette soluzioni intere non banali.*

Tale teorema è passato alla storia come il "grande teorema di Fermat" o anche come l'ultimo teorema di Fermat", volendo intendere con quest'ultima locuzione che è l'ultimo dei teoremi enunciati da Fermat e di cui ancora non si possiede una dimostrazione.
Molti fra i più grandi matematici hanno lavorato intensamente a questo problema e sono stati trovati molti valori di n per cui la congettura - oggi teorema** - di Fermat è vera.
Il caso n = 4 venne risolto indipendentemente da Eulero, Fermat, e Leibniz. Il caso n = 3 fu risolto da Eulero, Legendre e Dirichlet sistemarono il caso n = 5, Lamè sistemò il caso n = 7. Nel 1980 si era riuscito a dimostrare che la congettura era vera per n minore  di 125000.
Un modo nuovo di dimostrare la congettura (oggi teorema) fu l'approccio di Kummer, il qual credette di aver dimostrato il teorema, ma fu smentito da Dirichlet. Il lavoro innovativo di Kummer, svolto in seguito alla smentita di Dirichlet, lo portò a creare l'aritmetica degli ideali, mediante la quale è stato provato che la congettura di Fermat è vera per tutti i primi dispari minori o uguali a 4001.

Molti gli addetti ai lavori che hanno erroneamente creduto di aver dimostrato il grande teorema di Fermat, e tra questi è addirittura da annoverare Cauchy.

Da ricordare anche che per dimostrare il teorema basta provare che sia vero per n = 4 (già provato) e per ogni primo maggiore di 2.
Inoltre, una soluzione intera e non banale si dice primitiva quando il massimo comune divisore tra x_0, y_0, z₀ è 1, e ricercare tali soluzioni equivale a ricercare quelle non non banali.***

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Oggi, studiosi e dilettanti, cercano di trovare una dimostrazione del grande teorema di Fermat, basata sulle nozioni matematiche note ai tempi di Fermat.
L'annuncio da parte del giornale russo Novaya Gazeta che un certo prof. A. Ilin, avesse dimostrato il Teorema di Fermat in tre righe e basandosi sul teorema di Pitagora ha suscitato un nuovo interesse e messo in subbuglio appassionati, dilettanti e professionisti.
Riportiamo qui, alcune dimostrazioni, reperibili in rete o inviateci direttamente dai loro autori:

1. Dimostrazione di Andrea Ossicini
    

2. Dimostrazione di Enzo Bonacci -
   (Novità: Questa dimostrazione è al vaglio di matematici finlandesi ed inglesi (Cambridge))
   Vai alla pagina di Enzo Bonacci
    

3. Dimostrazione di Armando Pannella
    

4. Dimostrazione di Bono
    

5. Osservazione e dimostrazione di G. Imbalzano
    

6. Dimostrazione di A. Ilin
    

7. Dimostrazione di Eugenio Di Salvatore

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*Fermat: << Dividere un cubo in due cubi, o in generale una potenza n-esima in due potenze n-esime, è impossibile se n è maggiore di 2: ho trovato una dimostrazione veramente notevole di ciò, ma il margine  troppo ristretto per contenerla.>>
Ricordiamo che sono terne banali quelle del tipo (t₀, 0, t₀), (0, t₀, t₀)

**Nel 1994 A. Wiles, matematico americano, annuncio di aver dimostrato tale teorema, e successivamente, dopo aver corretto un errore inziale grazie al contributo di Taylor, la dimostrazione è stata accettata dalla comunità scientifica. La dimostrazione di Wiles però utilizza nozioni matematiche che erano sconosciute ai tempi di Fermat. [Vedi: L'ultimo Teorema di Fermat, Simon Singh, - Rizzoli ]

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Dimostrazione
Ammettiamo, dunque, che le equazioni diofantee

x⁴ + y⁴ = z⁴    e    x^p + y^p = z^p,

con p primo, maggiore di 2, siano prive di soluzioni non banali.
Allora, per n, possono aversi due casi:

n = 2^h, con 2 £ h,    oppure    n = ph,   h intero

Nel primo caso, se l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ avesse soluzione non banale la terna non banale

                               

sarebbe soluzione dell'equazione x⁴ + y⁴ = z⁴ , il che è contro l'ipotesi.
Nel secondo caso, se se l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ avesse soluzione non banale , allora la terna non banale
 

                             

sarebbe soluzione dell'equazione x^p + y^p = z^p, il che è contro l'ipotesi.