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I
numeri primi
gemelli sono i numeri primi che differiscono di due
unità, fatta eccezione per i primi gemelli 2 e 3 che
differiscono di una unità.
Alcune coppie di numeri primi gemelli sono:(3,5), (5,7),
(11,13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ((59, 61),
(71, 73), (101, 103)...
Il numero cinque è gemello sia con 3 che con 7.
Nessun sa se le coppie
di primi gemelli sono infinite.
Nel 1966 il matematico cinese Chen Jing-run dimostrò
che esiste un numero infinito di coppie di numeri
che differiscono di 2 in cui il primo numero è un
primo e il secondo è o primo o prodotto di due
primi.
Una formula che dà con buona probabilità (almeno per
valori non troppo alti di n) numeri primi gemelli
(p, p+2) è la seguente:
p = 6n - 1,
con n primo
ma vi sono valori di n
che fanno difetto. Il primo che fa difetto è il
numero n = 31.
Infatti per n = 31 si ottiene la coppia (185, 187),
e nessuno dei due numeri è primo, 187 è prodotto di due primi 187 = 13
´
7.
Non è vero che (6n - 1,6n + 1) formano una
coppia di primi gemelli per qualunque n primo tale
che 6n non sia multiplo di cinque.
Infatti, per n = 643 si ottiene il numero 3858
non divisibile per cinque, ma la coppia (3857, 3859)
non è una coppia di primi gemelli: 3857 = 7
´
17 ´
19, 3859 = 17
´
227,
Ogni coppia di primi gemelli maggiore di 3 è della
forma (6n - 1, 6n + 1) per qualche
numero
naturale n ( con
l'eccezione di n = 1 ) e n deve
terminare in 0, 2, 3, 5, 7, o 8.
È
stato dimostrato che (n, n + 2)
è una
coppia di primi gemelli se e solo se
4[(n-1)!+1] = -n,
mod [n(n+2)]
La più
grande coppia di primi gemelli nota è
2003663613 · 2195000 ± 1;
fu trovata il
15 gennaio
2007.
Erdős
dimostrò nel 1940 che esiste una
costante c < 1 e infiniti numeri primi p
tali che:
p' - p <
clog(p)
dove p' è il primo successivo a p.
Helmut Maier dimostrò nel 1986 che per
la costante c può essere usato un valore
minore di 0,25.
Brun dimostrò anche che il numero dei primi
gemelli p
£ p/(logp2).
Nel 1919 Brun dimostrò che la somma dei
reciproci dei numeri primi gemelli converge (mentre
diverge la serie dei reciproci dei numeri primi):
B2 si dice
costante di Brun.
Polignac
nel 1849 enunciò la
congettura generalizzata
dei primi gemelli: per ogni
numero naturale
h, esistono infinite coppie di numeri
primi che differiscano di 2h.
La congettura per
h =1 diventa quella dei primi gemelli.
I matematici inglesi Hardy e Littlewood,
indicando con p2(x)
il numero dei primi p £
x tale che p+2 sia primo, proposero congettura
di Hardy e Littlewood:
...
ove il quoziente tra il
primo e il secondo membro tende ad 1 quando x
tende all'infinito, la costante C2 dei numeri
primi è
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