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La dimostrazione è per assurdo; suppone che esistano n numeri primi e prova l'esistenza di un numero nuovo numero primo non facente parte dei precedenti. Ad esempio se i numeri primi fossero solo ( 443, 719, 1031) si otterrebbe il numero di Scimone M = 1.516.539 divisibile per 3 e per 505513 (entrambi primi). Poi posso considerare la quaterna ( 3, 443, 719, 1031) e costruire il nuovo numero di Scimone, primo o divisibile per un numero primo non appartenente alla quaterna suddetta, per definizione. Così continuando si amplia sempre più la n-pla di partenza e si vede che nessuna n-pla finita può contenere tutti i numeri primi. Infatti, se esistesse una tale n-pla il corrispondente numero di Scimone dovrebbe essere o primo o divisibile per un numero primo non appartenente alla n-pla data. Pertanto i numeri primi formano almeno una n+1 - pla, ossia l'insieme dei numeri primi non può essere finito e dunque è infinito.
La dimostrazione dice
anche qualcosa in più, ossia che tra un numero primo
p e il numero di Scimone M, generato da p (max della
sequenza completa dei primi minori o uguali a p: 2,
3, 5, 7 ,..., p), deve esistere almeno un altro
numero primo q maggiore di p; l'intervallo massimo
tra due primi è minore o uguale ad M - p, q appartiene
a ]p, M].
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