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I numeri primi 

.... mentre 24 non lo è poiché divisibile per 2; 15 non è primo in quanto divisibile per 3, 19 invece è primo. Il numero:

(2^67 ) - 1 = 147 573 952 589 676 412 927

non è primo poiché è il prodotto dei seguenti due numeri:

193707721 x 761838257287.

Euclide circa 23 secoli fa riuscì a dimostrare che esistono infiniti numeri primi ( Prova a dimostrarlo ), ma a tutt'oggi non esiste una formula che permette di calcolare al variare di n tutti i numeri primi. O sì?
[E' reperibile in rete una nuova dimostrazione del teorema di Euclide sull'esistenza di infiniti numeri primi..]

Per capire se un numero è primo, oltre al famoso crivello di Eratostene si può applicare anche il famoso Teorema di Wilson: "n è primo se e solo se n divide (n-1)! + 1".

Per esempio 7 è primo perché divide 6! + 1 = 721.

Ricordiamo anche Il Piccolo Teorema di Fermat (PTF) utilissimo per cercare numeri primi:

PTF:
Sia m un intero positivo qualsiasi. Se p è un numero primo che non divide m, allora p divide m^p-1 - 1.

Per esempio 17 divide 65535 = 2¹⁶ - 1.

Una stranezza: sotto il numero 10 ci sono quattro primi (2, 3, 5, 7 ), sotto il numero 100 ve ne sono ventiquattro e sotto 1000 ve ne sono centosessantotto; ci sono tre numeri primi tra i cento numeri dopo 10 milioni. Ancora più strano: la frequenza dei numeri primi diminuisce al crescere del numero stesso. Siamo dinanzi alla ben nota legge di rarefazione dei numeri primi: diventano sempre più rari man mano che ci si sposta verso l'infinito ( Dimostrare).
Se indichiamo con  P (N) il numero dei numeri primi più piccoli di N e con D_N la densità dei numeri primi inferiori ad N, si ottiene:

D_N = P(N)/N » 1/ ln(N)

ove ln(N) è il logaritmo naturale di N; con N che tende all'infinito D_N  tende a zero.

Esistono anche le progressioni di numeri primi e i matematici credono che si possano trovare progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

Ad esempio: 199, 409, 619 829, 1039 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 è una progressione aritmetica di ragione 210.

E' stato dimostrato nel 1944 che esistono un numero infinito di tre numeri primi in progressione aritmetica.
E' semplice rendersi conto che:
Non esistono progressioni aritmetiche di numeri primi di ragione un numero primo diverso da 2 o soltanto dispari. (Giulio D. Broccoli)

News:
Da poco tempo è stato scoperto il più grande numero primo: è un numero di 6.320.430 cifre: scritto sarebbe lungo 20 chilometri.
La scoperta è stata fatta da Michael Shafer, 26 anni, studente di ingegneria chimica della Michigan State University (Usa).
I numeri primi sono alla base della matematica, fanno parte della teoria dei numeri e oggi sono impiegati per generare dei modelli fisici ma soprattutto per creare nuovi codici segreti di cui hanno bisogno i militari e le avanzate tecnologie delle comunicazioni per garantire la sicurezza delle trasmissioni.
Ad esempio i pagamenti con carta di credito sono sicuri proprio grazie all'utilizzo di questi numeri.

Scoperto (23 agosto 2008) un numero primo con 13 milioni di cifre, si ottiene per n = 43.112.609, ottenuto dalla formula di Mersenne 2ⁿ -1

Aderiamo al progetto G.I.M.P.S per la ricerca dei numeri primi di Mersenne.
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