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I
numeri perfetti: il più antico problema ancora aperto della matematica elementare.
Un numero si dice perfetto se è la somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso e incluso l'unità
Ad esempio, il numero 6 è perfetto poichè la somma dei suoi divisori 1, 2, 3 dà 6:
1+ 2 + 3 = 6.
I Greci conoscevano soltanto i seguenti 4 numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128.
Il quinto numero perfetto è 33550336 e fu trovato all'incirca nel XV secolo.
Quello che a tutt'oggi ancora non si sa è se i numeri perfetti sono tutti pari o no.
Fino ad oggi non è stato trovato alcun numero perfetto dispari ma non esiste un teorema che lo provi inequivocabilmente.
Euclide nel 300 a. C. riuscì a dimostrare il seguente teorema:
1)
2^(n-1) [2^(n) -1] è un numero perfetto
se 2^(n) - 1 è un numero primo.
La difficoltà sta nel capire se il numero 2^(n +1) - 1 è primo o no per un certo valore di n.
Riporto qui di seguito l'elenco dei 30 numeri perfetti oggi conosciuti:
6, 28, 496, 8128, 33550336,
8589869056,
123438691328,
2305843008139952128
ottenuti dalla formula (1), rispettivamente per n = 1, n = 2, n = 4, n = 6, n = 12, n =16, n = 18, n = 30.
Tutti gli altri si ottengono dalla formula (1) per:
n = 60, n = 88, n = 106, n = 126, n = 520, n = 606, n = 1278,
n = 2202,
n = 2280,
n = 3216,
n = 4252, n = 4422,
n = 9688,
n = 9940,
n = 11212,
n = 19936,
n = 21700,
n = 23208,
n = 44496,
n = 86242,
n = 132048,
n = 216090. |
