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Oggi tale congettura ancora non è dimostrata, anche se è noto che fino ad un certo N è vera.
Una proprietà semplice (fig.1) è la seguente: Sia n >1 un
numero naturale, la somma di due numeri primi
diversi fra loro è uguale a 2n se e solo se i
due primi sono simmetrici rispetto ad n.
I teoremi di Chen:
Il matematico cinese Chen Jing-run dimostrò invece
la:
Congettura
debole di Goldbach (1974): Ogni numero pari "abbastanza grande"
è la somma di un numero primo e un numero quasi
primo (cioè prodotto di due primi).
Un altro teorema di Chen: Esiste un
numero infinito di coppie di numeri che differiscono
di 2 in cui il primo numero è primo e il secondo è o
primo o un prodotto di due primi (1966).
Altri teoremi
riguardanti la congettura di Goldbach:
a) Esiste almeno un numero primo fra un
qualsiasi numero n>1 e il suo doppio 2n.
b) Esistono almeno 3 numeri primi aventi esattamente
n cifre, ove n è un numero intero positivo
qualsiasi.
c) Esiste un intero n>0 tale che da un certo punto
ogni naturale (pari e dispari) è somma di al più n
primi (Shinirllman, 1930).
Altre congetture:
b) Esiste almeno un numero primo tra
un numero n >1 e il suo quadrato n2.
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