Siano x < y interi dati. Si possono presentare due possibilità:
-
il numero r, tale che x2 + y2 = r2, è intero;
-
il numero r, tale che x2 + y2 = r2, non è intero (è irrazionale).
La terna (x,y,r) non è soluzione
dell'equazione xn + yn = zn
"
n >2, il
numero z che la verifica, se esiste, è tale che
.
Ipotizziamo che r sia intero.
Nel triangolo rettangolo di lati x, y, ed r (ipotenusa) si ha anche x
= r sen
a e y = r cos
a e quindi
xn + yn = rn (senn a + cosn a)
Pertanto, da xn + yn = zn , dovrebbe
anche essere
ossia
ed essendo senn
a + cosn
a <
1, segue che z è minore di r
Inoltre, essendo
r2= x2+ y2 < xn + yn = zn
segue che
r2< zn < rn
e cioè
Ipotizziamo che r sia non intero (irrazionale). Allora dalla relazione:
si ricava che anche z non è intero (irrazionale).
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Giulio D. Broccoli