Trigonometria  -  Giulio D. Broccoli

   

2. Funzioni trigonometriche e loro proprietà

 

a)  Definizioni e proprietà *

1)   sen a  =           

2)   cos a  =                                

3)   tg a    =      

4)   cotg a =

  

 

 

 

 

 

 

Le definizioni (1), ... , (4) sono riferite ad una circonferenza goniometrica[1] di equazione             x2 + y2 = 1 (fig.1), sulla quale è fissato come verso positivo il verso antiorario e l’origine degli archi nel punto A(1;0).

Le funzioni seno e coseno hanno per dominio l’insieme R dei numeri reali, mentre per codominio l’intervallo chiuso [-1, 1].

Ricordiamo che:

·       - 1 è il valore minimo per il seno e il coseno, e si ha:  

   

        -1 = sen( 3p/2 ),   - 1 = cos ( p ).

   

·       + 1  è il valore massimo per il seno e il coseno, e si ha:   

 

        1 = sen ( p/2 ),   1 = cos ( 0 ).

Pertanto le funzioni seno e coseno sono limitate nell'intervallo [-1, 1], il che significa che solo scegliendo un numero y appartenente a [-1, 1] esiste un numero (angolo) reale x tale che sen x  = y; analogamente per il coseno. Mentre se si sceglie un numero y esterno a tale intervallo non esiste un angolo x che abbia y come seno.

Esempio 1.- Se scegliamo y = 0, y = 2,  y = 1, y = -11,57, si ha:

  • E' vero che: 0 = sen x, con x = 0°
     

  • Non è vero che: 2 = sen x, poiché x non esiste
     

  • E' vero che: 1 = sen x, con x = 90°
     

  • Non è vero che: -11,57 = sen x, poiché x non esiste

·       Le funzioni tangente e cotangente hanno rispettivamente per dominio l’insieme: 

                            

      

       mentre per codominio l’insieme R. Queste due funzioni non hanno valori massimi e minimi, e pertanto si dicono illimitate. Questo significa che per qualsiasi numero reale y esiste un numero (angolo) x tale che tg x = y; lo stesso dicasi per la cotangente.

 

b) Periodo delle funzioni trigonometriche.

Risulta:

 5)       sen ( a + 2p ) =   sen a           " a Î R

 ossia la funzione seno si ripete dopo un angolo di 360° (2p), ossia ha periodo p = 360°

Esempio 1.- La relazione (5) afferma che se il seno di 30° è 1/2 il seno di un angolo di 360° + 30° = 390° è 1/2; in formula si ha:

 sen ( 390° ) = sen ( 30° + 360° ) =   sen 30° = 1/2.

ove, è chiaro, bisogna sapere che sen 30° = 1/2.

  

6)       cos ( a + 2p ) =   cosa            " a Î R

 

7)       tg ( a + p )    =   tg a             " a Î D1

 

8)       cotg ( a + p) =   cotg a          " a Î D2

 

Le formule (5) e (6) esprimono che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo p = 2p  ( 360°); mentre le (7) e (8) che le funzioni tangente e cotangente sono periodiche di periodo p = p   ( 180°).

* Le definizioni date sono riferite ad una circonferenza goniometrica di raggio unitario (uguale ad 1), ma tale definizioni si possono riferire ad una circonferenza di raggio qualsiasi.

[1] Si dice circonferenza goniometrica una circonferenza avente il centro nell’origine di un riferimento cartesiano Oxy e raggio uguale al segmento unità di misura  del riferimento.
 

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