Trigonometria

 

1. Sistemi di misura degli angoli e degli archi.

Sistema sessagesimale.

In questo sistema  l’unità di misura è la novantesima parte dell’angolo retto, e prende il nome di angolo grado.

I sottomultipli dell’angolo grado sono:

 

·       l’angolo minuto primo: che è uguale a 1/60  dell’angolo giro;

 

·       l’angolo minuto secondo: che è uguale a 1/60  dell’angolo minuto.

 Formule dirette:

1° = 60', 1' = 60''

 Formule inverse

1' = 1/60°,  1'' = 1/60',  1'' = 1/3600°

Ricordiamo, altresì, che per indicare l’angolo di 45 gradi, 17 primi e 35 secondi si scrive: 45° 17’ 35’’.
 

1.1 Forma ridotta dell'espressione della misura di un angolo

Esempio 1. .- Consideriamo l'angolo di 47° 75' 12'' scritto in forma non normale perché i primi sono espressi da un numero superiore a 59.
La misura dell'angolo si può scrivere in forma ridotta nel seguente modo 48°15'12'', ossia vale l'uguaglianza:

  47° 75' 12'' = 48° 15' 12''

L'espressione 48° 15' 12'' si ottiene osservando che 75' = 60' +15' = 1° +15' (o eseguendo la divisione 75 : 60 che dà 1 con il resto di 15). Pertanto si aumenta di 1° il valore che esprime i gradi (47° diventa 48°) e si scrive 15' al posto di 75'.
L'espressione 47° 75' 12'' si dice complessa, mentre l'espressione 48° 15' 12'' si dice normale o ridotta.

 

 

Esempio 2. Forma ridotta dell'espressione della misura di un angolo.- Consideriamo l'angolo di 157° 65' 82'' scritto in forma non normale perché i primi e i secondi sono espressi da numeri superiori a 59.
La misura dell'angolo si può scrivere in forma ridotta nel seguente modo 158° 6' 22'', ossia vale l'uguaglianza:

 157° 65' 82'' = 158° 6' 22''

L'espressione 158° 6' 22'' si ottiene osservando che 82'' = 60'' +22'' = 1' +22'' (o eseguendo la divisione 82 : 60 che dà 1 con il resto di 22). Pertanto si aumenta di 1' il valore che esprime i primi (65° diventa 66°) e si scrive 22'' al posto di 82''. Poi si procede a trasformare i primi come nell'esempio 1.

1.1.1 Espressione decimale

La misura di un angolo nel sistema sessagesimale si può scrivere anche in forma decimale procedendo come nei seguenti esempi.

 a)   45° 20' = 45° + 20 (1/60)° +  = 45° + 1/3°  =  (45 + 1/3 )° = (136/3)° = 45.3°

 

 b)    30° 20' 12'' = 30° + 20 (1/60)° + 12(1/3600)° = 30° + 1/3° + 1/300° =

= (30 + 1/3 + 1/300)° = (9101/300)° = 30.34°

approssimando alla seconda cifra decimale.

 c)   10° 30' 12,56'' = 10° + 30 (1/60)° + 12,56(1/3600)° = 10 + 1/2 + 12,56/300 =

= 10° + 1/2° + 1256/30000° =

= (10 + 1/2 + 1256/30000)° = (316256/30000)° = 10,542°

approssimando alla terza cifra decimale.

Naturalmente si può fare il viceversa.
 

d)    12,25° = 12° + 0,25° = 12° + 0,25(60') = 12° + 15' = 12° 15'

 

e)    145,185° = 145° + 0,185° = 145° + 0,185(60') = 145° + 11,1' =

= 145° + 11' + 0, 1' = 145° + 11' + 0, 1(60'') = 145° + 11' + 6'' =

= 145° + 11' + 6''

 

Sistema centesimale.

In questo sistema l’unità di misura è la centesima parte dell’angolo retto, e prende il nome di grado centesimale.

I sottomultipli del grado centesimale sono:

 

·       l’angolo minuto primo: che è uguale a   1/100  dell’angolo centesimale;

 

·       l’angolo minuto secondo: che è uguale a   1/100  dell’angolo minuto primo.

 

Ricordiamo che per denotare l’angolo di 37 gradi centesimali, 24 primi e 16 secondi si scrive: 37^c 24’ 16’’.

  

Sistema radiale.

In questo sistema l’unità di misura è l’angolo radiante definito come l’angolo al centro di una circonferenza il cui arco corrispondente è di lunghezza uguale al raggio ( fig. 1).

I sottomultipli dell’angolo radiante sono:  il decimo, il centesimo, il millesimo,......di radiante.

Per denotare l’angolo di 7 gradi radianti, 5 decimi e 3 centesimi si scrive:  7^r,53.

Si dice misura in radianti di un angolo ( che indichiamo con J ) il rapporto (fig. 1) seguente:

 1)      

 

ove L è la lunghezza del corrispondente arco rettificato ed R il raggio della circonferenza.