In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le parabole di equazione: 

 

                  

 

dove a è un numero reale positivo.

Tra di esse determinare la parabola p che,  con la sua simmetrica q rispetto all’origine O, delimita una regione di area .

Constatato che per la parabola p risulta a = 2, calcolare l’area del quadrilatero convesso individuato dagli assi di riferimento e dalle tangenti alle due parabole p, q nel loro punto comune di ascissa positiva.

Considerato infine il quadrilatero convesso avente per vertici i punti medi dei lati del quadrilatero precedente, dimostrare che si tratta di un parallelogramma e calcolarne l’area.

 

              In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione    .    

Dopo aver studiato la funzione     ( dominio, eventuali zeri ed estremi, asintoti di k ), disegnare l’andamento di k. Indicata con t la tangente a k parallela all’asse delle ascisse distinta dall’asse stesso, calcolare l’area della regione delimitata da k e da t.

A completamento del problema, prendere in esame le due seguenti proposizioni:

• Una funzione reale di variabile reale non derivabile in un punto non è continua in quel punto.
   

• Una funzione reale di variabile reale non continua in un punto non è derivabile in quel punto.
   

Dire di ciascuna se è vera o falsa e fornire una esauriente giustificazione della risposta.

 

              Considerato il rettangolo ABCD, il cui lato AD è lungo 8a, dove a è una lunghezza nota, sia M il punto medio del lato AB. Sulla perpendicolare al piano del rettangolo condotta per M, prendere un punto V in modo che il piano del triangolo VCD formi col piano del rettangolo un angolo  a tale che tg a = 3/4. 

Mostrare che la superficie laterale della piramide di vertice V e base ABCD è costituita da due triangoli rettangoli e da due triangoli isosceli. Sapendo che l’area di tale superficie laterale è 92a², calcolare la lunghezza di AB.

Constatato che tale lunghezza è 5a, condurre un piano s parallelo alla base della piramide e proiettare ortogonalmente su tale base il poligono sezione s con la piramide stessa, ottenendo in questo modo un prisma retto.

Determinare la posizione di s  per la quale il volume di tale prisma risulta massimo.

A completamento del problema, dimostrare che se i numeri reali positivi x, y variano in modo che la loro somma si mantenga costante, allora il prodotto x² × y  è massimo quando risulta x = 2y.