In  un sistema di assi coordinati cartesiani si scrivano le equazioni delle due circonferenze passanti per l’origine O ed aventi i centri rispettivamente nei punti: .

 

Condotte per il punto O due rette mutuamente perpendicolari, delle quali, la prima incontra le due circonferenze, oltre che nel punto O, nei punti A e B rispettivamente e la seconda nei punti C e D, si determini il quadrilatero ACBD avente area massima.

 

              Si  studi la funzione:

 

 

                   

 

e se ne disegni il grafico. Si scrivano le equazioni delle due parabole con gli assi paralleli all’asse delle ordinate, passanti per l’estremo relativo A della curva d’ascissa positiva, per il punto B della curva d’ascissa x =1 e tali che l’area della regione finita di piano limitata dall’arco AB della curva e da ciascuna delle due parabole sia 7/3.

 

              In un triangolo di base  ed altezza  si inscriva il rettangolo con un lato su AB ed i vertici opposti sugli altri due lati, che in una rotazione completa attorno alla retta AB genera il solido di volume massimo.

 

Supposto che gli angoli adiacenti alla base siano uno doppio dell’altro, si calcolino i valori che essi assumono quando detto valore massimo è .

 

               Si dimostri l’identità:     .

 

 

  

Le circonferenze, denotate rispettivamente con g¢ e g¢¢, di centri  e  e passanti per l’origine O hanno raggi:  R’ = 2 e R’’ = 1/2. Di conseguenza le equazioni delle due circonferenze, applicando la formula , sono:

 

                  

 

Mentre le rette mutuamente perpendicolari, indicate rispettivamente con  r¢ e r¢¢, e passanti per O hanno equazioni:

                   ,

con  m > 0.