Problema 1
In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva k di equazione y = f(x), dove è:

 

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y > 0 e per quali nel semipiano y < 0.

b) Trovare l’equazione della parabola passante per l’origine O degli assi e avente l’asse di simmetria parallelo all’asse y, sapendo che essa incide ortogonalmente la curva k nel punto di ascissa  –1.
(N. B.: si dice che una curva incide ortogonalmente un’altra in un punto se le rette tangenti alle due curve in quel punto sono perpendicolari).

c) Stabilire se la retta tangente alla curva k nel punto di ascissa –1 ha in comune con k altri punti oltre a quello di tangenza.

d) Determinare in quanti punti la curva k ha per tangente una retta parallela all’asse x

e) Enunciare il teorema di Lagrange e dire se sono soddisfatte le condizioni perché esso si possa applicare alla funzione f(x) assegnata, relativamente all’intervallo.

 

Problema 2

Si considerino le lunghezze seguenti:

 

1]            a + 2x,     a - x,     2a - x

 

dove a è una lunghezza nota non nulla ed x una lunghezza incognita.

a) Determinare per quale valore di x le lunghezze [1] si possono considerare quelle dei lati di un triangolo non degenere;

b) Stabilire se, fra i triangoli non degeneri i cui lati hanno lunghezze [1], ne esiste uno di area massima o minima;

c) Verificato che per x = a/4 le [1] rappresentano le lunghezze dei lati di un triangolo, descriverne la costruzione geometrica con riga e compasso e stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo;

d) Indicato con ABC il triangolo di cui al precedente punto c), in modo che BC sia il lato maggiore, si conduca per A la retta perpendicolare al piano del triangolo e si prenda su di essa un punto D tale che AD sia lungo a: calcolare un valore approssimato a meno di un grado (sessagesimale) dell’ampiezza dell’angolo formato dai due piani DBC e ABC.