Ragionamento nella risoluzione di un problema di geometria elementare  -
 
Giulio D. Broccoli 

Presento alcune considerazioni utili per capire come ragionare per risolvere un problema di geometria elementare. La procedura è applicabile anche ad altri tipi di problemi elementari.
Le nozioni di base che bisogna conoscere sono, ovviamente, le proprietà delle figure geometriche elementari (quadrato, triangolo,... ecc.) e relative formule dirette e inverse che permettono di calcolare l' area e il perimetro di una figura elementare piana e solida l'area (totale e laterale) e il volume di un solido. Vedi: Formule

Possiamo dividere, per semplicità, i problemi in base al numero di formule da applicare per ottenere la risoluzione:

  1. Problemi che si risolvono con l'applicazione di una sola formula.
    Per risolvere questo tipo di problema bisogna evincere dal testo del problema qual è la formula da applicare.
    In questo caso, il ragionamento consiste nell'individuare la formula richiesta a partire dai dati del problema e dalla conoscenza delle proprietà elementari della figura in esame; la risoluzione consiste invece nell'applicare la formula individuata nel ragionamento, cioè nel sostituire le grandezze date nella formula con i numeri e fare i conti.
    E' evidente che in questo tipo di problema i dati assegnati nel testo sono sempre sufficienti ad applicare la formula, cioè non bisogna calcolare altre quantità.
     
  2. Problemi che si risolvono con l'applicazione di due o più formule, collegate tra loro da un ragionamento.
    Questo tipo di problema si risolve facendo un vero e proprio ragionamento, ossia scrivendo una serie di formule collegate tra loro e che conducono alla risoluzione. Il ragionamento inizia con una prima formula da applicare che si evince dal testo del problema e può continuare anche utilizzando le proprietà della figura geometrica in esame.

Propongo alcuni esempi per spiegare meglio la tecnica di risoluzione dei problemi suddetti. Si possono vedere anche dei video per capire meglio come procedere

Esempio 1. Dato il quadrato di lato L = 10 cm, determinare l'area.

Si tratta di un problema del primo tipo, si risolve con l'applicazione di una sola formula.
Qual è la formula da applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l'area del quadrato. Quindi bisogna conoscere, o ricercare, la formula dell'area del quadrato in funzione del lato (noto). Se non si conosce tale formula il problema non si può risolvere.
La formula richiesta è:

1)         A = L2

e capirlo è il ragionamento elementare. Evidentemente in questo caso elementare basta ricordarsi come si calcola l'area di un quadrato o ricavare la formula da un formulario.
La risoluzione consiste nell'applicare la formula (1), cioè nel sostituire i dati, L = 10 cm, nella formula:

       A =
L2 = (10 cm)2 = 100cm2

Pertanto l'area richiesta è uguale a 100cm2

Esempio 2. Dato un triangolo di area A = 150 cm2 e base b = 15 cm, determinare l'altezza h.

Il problema si risolve con l'applicazione di una sola formula.
Qual è la formula da applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l'altezza h del triangolo. Quindi bisogna conoscere, o ricercare, la formula che esprime l'altezza h del triangolo in funzione dell'area A e della base b.
La formula richiesta è:

1)         h = 2A/b

e nel capirlo consiste il ragionamento elementare. Notiamo che la formula (1) è la formula inversa di A = (b ´  h)/2.
La risoluzione del problema consiste nell'applicare la formula (1), cioè nel sostituire i dati, A =
100cm2 e b=15cm nella formula:

       h = 2(150)/15
=  300/15 = 20cm

Pertanto l'altezza richiesta è uguale a 20cm

Esempio 3. Determinare l'area di un triangolo rettangolo sapendo che l'ipotenusa è 10 cm, e il cateto minore è 6 cm.

Si tratta di un problema del secondo tipo, che si risolve con l'applicazione di almeno due formule.
Qual è la prima formula che devi applicare? Si evince dal testo. Infatti, il testo chiede di calcolare l'area del triangolo rettangolo.
La formula richiesta è:

1)  A = (b ´  h)/2 = (cM ´  cm )/2

ove cM ,  cm rappresentano rispettivamente il cateto maggiore (assunto, come è lecito, per base) e il cateto minore (assunto come altezza relativa alla base). Dunque il punto di partenza del nostro ragionamento è la formula (1). Per applicare la formula (1), e dunque risolvere il problema bisogna conoscere i due cateti.
Ora ti devi chiedere: << Conosco i due cateti?>> La risposta è No, poiché si conosce solo il cateto minore (
cm= 6). Pertanto, il ragionamento si sposta sul cateto maggiore cM, ossia sulla ricerca di una formula che esprima il cateto maggiore in funzione dei dati del problema (ipotenusa e cateto minore). La formula richiesta è data dall'applicazione del teorema di Pitagora, ossia:

2) cM= sqrt(i2 - cm2)

Questa formula è effettivamente applicabile poiché si conoscono l'ipotenusa e il cateto minore (dati dal problema). Dunque il ragionamento è finito, e si riassume nelle seguenti due formule:
 

Ragionamento

1)   A = (cM ´  cm )/2

2)   cM = sqrt(i2 - cm2)

La risoluzione del problema si ottiene applicando in senso inverso (dall'ultima alla prima) le formule espresse nel ragionamento. Pertanto, applicando la formula (2) si calcola il cateto maggiore e quindi con la formula (1) l'area del triangolo rettangolo:
 

Risoluzione

2)   cM = sqrt(i2 - cm2) = sqrt(102 - 62)= 8 cm

1)   A = (8 ´   6)/2 = 24 cm2

Pertanto l'area richiesta è uguale a 24cm2

 ...continua...

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