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La nozione di commensurabilità tra
segmenti è molto utile anche per la risoluzione di alcuni
problemi di geometria elementare. In particolare, permette di
risolverli senza l'uso di equazioni e proporzioni.
Due segmenti AB e CD si dicono commensurabili se esiste un
segmento u che entra m volte in AB e n volte in CD*.
E' evidente che:
AB = m ×
u
CD = n
×
u
AB/CD = m/n
AB + CD = (m + n)
×
u
AB - CD = (m - n)
×
u
E' utile anche ricordare le
seguenti equivalenze:
AB/CD = m/n
ß Ý
AB = (m/n)
× CD
ß Ý
CD
= (n/m) ×
AB
ß Ý
AB : CD = m : n
ß Ý
n
×
AB = m
× CD.
Esempio 1.-
Determinare la misura di due segmenti sapendo che il loro
rapporto è 5/4 e la loro somma è 27.
Detti AB e CD i due segmenti risulta:
AB/CD = 5/4,
AB + CD = 27.
Dall'essere AB/CD = 5/4 si evince,
per la commensurabilità dei segmenti AB e CD, che esiste un
segmento u che entra 5 volte in AB e 4 volte in CD e, di
conseguenza, 9 volte in AB + CD.
Pertanto, si può calcolare la misura di u con la divisione:
(AB + CD) diviso 9.
Si ha dunque
u = 27/ 9 = 3,
e
AB = 5 × 3 = 15
e CD = 4 × 3 = 12.
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Problema.-
Determinare due
segmenti il cui rapporto è m/n, con m ed n interi**,
e la cui somma è S. |
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Risoluzione
primo segmento
= [m/(m + n)] × S
secondo segmento =
[n/(m + n)] × S
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Esempio 2.-
Determinare la misura di due segmenti sapendo che il loro
rapporto è 5/2 e la loro differenza è 12.
Dall'essere AB/CD = 5/2 si evince,
per la commensurabilità dei segmenti AB e CD, che esiste un
segmento u che entra 5 volte in AB e 2 volte in CD e, di
conseguenza, 3 volte in AB - CD.
Pertanto, si può calcolare la misura di u con la divisione:
(AB + CD) diviso 3
ossia
u = 12 : 3 = 4
Ne consegue:
AB = 5 × 4 = 20
CD = 2 × 4 = 8.
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* I numeri m ed n sono interi.
** Se i numeri m ed n non sono interi la risoluzione indicata
non si può applicare.
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