Problemi con le frazioni  -


Esaminiamo con alcuni esempi i tipici problemi con le frazioni

1. Esempio.- Dal totale alla parte.
Calcolare i 3/4 di 28.

Soluzione. Bisogna moltiplicare 28 per 3/4, ossia:

     28 x 3/4 = 7 x 3 = 21

Possiamo indicare questo problema come il calcolo
di una parte del totale e impostarlo schematicamente così:
 

Totale

Frazione

Parte

T

n/m

x

noto

noto

da calcolare

x = T x n/m

Nell'esempio 1 il totale è T = 28 e la frazione è n/m = 3/4,
mentre la parte da calcolare è x = 21, cioè 21 è i 3/4 di 28.
Questo problema "Dal totale alla parte" lo possiamo anche
chiamare problema diretto con le frazioni, mentre si chiama
problema inverso quando si conosce la parte e si vuole
calcolare il totale.


2. Esempio. Dalla parte al totale. 
Sapendo che 36 è i 3/4 di una data quantità, calcolare la quantità.

Soluzione. Bisogna moltiplicare 36 per 4/3,
inverso della frazione 3/4, ossia:

x =  36 x 4/3 = 12 x 4 = 48

Possiamo indicare questo problema come
schematicamente così:
 

Totale

Frazione

Parte

x

n/m

P

da calcolare

noto

noto

   x = P x m/n
 

3. Esempio
Sapendo che un negozio vende 30 bottiglie di Rum
su 150 bottiglie di alcolici vendute calcolare la
frazione e la percentuale di bottiglie di Rum vendute.

Soluzione. Bisogna fare il rapporto tra il numero
delle bottiglie di Rum vendute e il numero totale
di bottiglie vendute:

    x = 30/150 = 1/5

il che ci indica che sul totale di 150 bottiglie,
inteso come 1, 1/5 risultano quelle di Rum vendute.

 

Per sapere la percentuale di bottiglie vendute basta
eseguire la divisione 1/5 e moltiplicare il risultato per 100:

1/5  x 100 = 0,2 x 100 = 20% 

e ciò indica che su 150 bottiglie vendute  30 sono di Rum.

Possiamo indicare questo problema come schematicamente
così:
 

Totale

Frazione

Parte

T

x

P

noto

da calcolare

noto

    frazione:  x = P / T

     percentuale: x = P / T x 100

Questi tre tipi di problemi sono alla base di problemi
più complessi con le frazioni

4. Esempio.-
Un rivenditore di automobili vende in un anno 273 auto
di tre marche differenti (Fiat, Mercedes, Renault).
Sapendo che 1/3 sono Fiat, 2/7 sono Mercedes
calcolare il numero di Renault vendute.

Possiamo procedere in due modi differenti.

Primo Metodo.-
Schematizziamo il problema con un rettangolo,
ossia immaginiamo che il parco auto vendute sia
rappresentato come nella seguente figura:
 

R
Renault

 

   1 - (2/7 + 1/3 ) = 8/21

 

M
Mercedes


  2/7
 

 F
Fiat

              
    1/3

 

Indicando tutto il parco auto vendute con 1,
il totale in senso frazionario, e tenuto conto
che le Fiat vendute sono 1/3 del totale e le
Mercedes 2/7 si ricava che le Renault vendute sono

   1 - (2/7 + 1/3 ) = 8/21 del totale.

Quindi il numero di Renault (parte) sono 8/21
del totale (T) e si possono calcolare
con la formula del problema diretto:

   R = 273 x 8 / 21 = 13 x 8 = 104

Secondo metodo.
Sapendo che il parco auto vendute è di 273
calcoliamo preliminarmente il numero di Fiat e
Mercedes vendute. Si ha:

 F = 273 x 1/3 = 91

  M = 273 x 2/7 =78

Di conseguenza il numero di Renault vendute è:

  R = Totale auto vendute -  (F +  M) = 273 - (91 + 78) = 104

5. Esempio.-

Un tale percorre in tre giorni 290 km. Sapendo che il
secondo giorno percorre 11/12 del primo giorno e che
il terzo giorno percorre 6/11 del secondo, determinare
 quanto percorre il primo giorno.

 

A

B

C

D

1

 

11/12

1/2

Sia AB il percorso del primo giorno, BC quello del secondo
giorno e CD quello del terzo giorno.
Indichiamo con AB = 1 il percorso fatto il primo giorno.
Di conseguenza il percorso fatto il secondo giorno sarà
CD = 11/12, mentre il percorso fatto il terzo giorno
 sarà CD = (6/11) x
(11/12) = 1/2.

Pertanto tutto il percorso in termini frazionari è:

AB = 1 + 11/12 + 1/ 2 = 29/12.

Sapendo che tutto il percorso è di 290 km possiamo
calcolare la lunghezza di AB così:

AB = 290 x 12/29 = 10 ´ 12 = 120 km

 

 

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