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Esempio 4.
Determinare il volume di un
parallelepipedo sapendo che l'altezza h è 10 cm,
la diagonale d del rettangolo di base è 5 cm e un lato
a della base è 3 cm.
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Ragionamento |
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1) V
= Ab
´
h
2)
Ab =
a ´ b
3)
b = sqrt(d2
- a2) |
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Risoluzione |
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3)
b = sqrt(d2
- a2)
= sqrt(52
- 32)=
4cm
2)
Ab =
a ´
b = 3 ´
4 = 12 cm2
1) V
= Ab
´
h =
12
´ 10
= cm3 |
Fino a questo punto abbiamo presentato il Ragionamento e la
Risoluzione di un problema come due momenti differenti. In
effetti, quando non si è bravi a risolvere i problemi o quando
si affronta per la prima volta lo studio dei problemi è
conveniente procedere in questo modo.
Successivamente con la pratica si riesce ad eseguire
Ragionamento e Risoluzione insieme.
In riferimento al problema precedente, riporto il ragionamento
che si dovrebbe fare dopo aver letto con attenzione il testo del
problema:
"Dato che per trovare il volume del parallelepipedo mi serve
l'area di base Ab
e l'altezza h (che però è nota) e dato che
per trovare tale area mi servono le due dimensioni della base,
inizio a trovare la dimensione b della base con il teorema di
Pitagora in quanto conosco la diagonale e l'altra dimensione;
quindi mi trovo l'area di base e infine trovo il volume."
Tutto questo ragionamento si
concretizza nell'applicare prima la formula (3), poi la (2) ed
infine la (1):
3)
b = sqrt(d2
- a2)
= sqrt(52
- 32)=
4cm
2)
Ab =
a ´
b = 3 ´
4 = 12 cm2
1) V
= Ab
´
h =
12
´ 10
= cm3
Notiamo la differenza tra il primo modo di procedere e il
secondo.
Primo modo.- Nel primo
metodo non devo fare altro, dopo aver letto con attenzione il
problema, che capire che si cerca il volume e quindi
partire dalla formula del volume del parallelepipedo V
= Ab
´ h,
quindi ispezionare tale formula e osservare che l'altezza è nota
e che l'area di base non si conosce. Quindi si capisce che il
problema si sposta sull'area di base e pertanto devo "trovare"
la formula dell'area di base del parallelepipedo. Essendo la
base del parallelepipedo un rettangolo siamo condotti a
"trovare" la formula dell'area del rettangolo e cioè a scrivere
come seconda formula Ab =
a ´ b. Ispezionando questa seconda formula
dobbiamo riconoscere che non è noto b e che quindi il problema
si sposta su b. Cioè bisogna calcolare b. Essendo b una dimensione
del rettangolo di cui si conosce la diagonale (che divide il
rettangolo in due triangoli rettangoli), si è indotti a pensare
di calcolare b con il teorema di Pitagora.
Secondo modo. Nel secondo
modo di procedere dopo attenta lettura del testo dobbiamo
intuire che tutto il problema consiste nel trovare b, perché
solo trovando b si può giungere a trovare il volume. In effetti,
potrebbe accadere che dall'osservazione della formula del volume
non si intuisca che bisogna trovare b, dato che b non appare
chiaramente espresso in tale formula, ma è contenuto per così
dire nella formula dell'area
In sostanza il primo modo di procedere, individuata la quantità
richiesta dal problema, indica, e dovrebbe facilitare, la
strada da fare per arrivare a risolvere il problema.
Il secondo modo di procedere concretizza le due fasi
(Ragionamento e Risoluzione) in un'unica fase, ma necessita di
una maggiore abilità del lettore.
Esempio 5.
Determinare il perimetro di un
rettangolo equivalente al triplo di un quadrato di lato
L = 10 cm, sapendo che il lato del rettangolo è a = 15
cm.
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Ragionamento |
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1) P
= 2(a
+
b)
[
b non è noto, dunque il problema si sposta su b.
Bisogna trovare b in qualche modo]
¯
2)
b =
Ar
/ a
[ Ar
non è noto dunque il
problema si posta su
Ar
. Bisogna trovare Ar
Come trovare Ar?
Ispezionando i dati del problema]
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
3)
Ar
= 3´
Aq
[ Aq
non è noto dunque il
problema si posta su Aq
]
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯¯¯¯
4) Aq
=
L2
[ Il ragionamento è finito,
perché l'ultima formula è applicabile
essendo noto L ]
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Risoluzione |
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4) Aq
=
L2
= (10 cm)2
= 100cm2
3)
Ar
= 3´
Aq = 3 (100 cm2)
= 300cm2
2)
b =
Ar
/ a = 300cm2/15 = 20cm
1)
P
= 2(a
+ b)
= 2( 15cm + 20cm) = 70cm |
in preparazione |
