Si dice quadrica (Q) l'insieme dei punti dello spazio rappresentati, in un riferimento R cartesiano omogeneo dello spazio, da un'equazione di secondo grado omogenea del tipo:

nelle incognite x₁, x₂, x_3, x₄ .

Si dice matrice associata alla quadrica Q la matrice simmetrica seguente:

con  

cioè  a_{12 =} a_21, a_{13 =} a_31, a_{14 =} a_41, a_{12 =} a_21,..., a_{34 =} a₄₃

 

Il determinante  della matrice A_Q dice determinante della quadrica di equazione (1).

Se il determinante della matrice A_Q è uguale a zero la quadrica si dice degenere o riducibile, se è diverso da zero si dice non degenere.

Esempio 1. Data la quadrica

*) 

stabilire se è degenere o non degenere. Osservato che il coefficiente di x₁x₂ è 1, ossia che

2a_{12 =} 2a₂₁= 1 cioè a₁₂ = 1/2

 si ha che la matrice associata alla quadrica è:

Inoltre, il determinante della matrice A_Q è zero e quindi la quadrica è degenere.

Notiamo che dividendo per (x₄)² ¹ 0 e posto

x₁ /x₄ = x,     x₂/ x₄ = y,     x₃ /x₄ = z

quadrica (*) si può scrivere in coordinate cartesiane non omogenee nel seguente modo:

Esempio 2. Data la quadrica

*)    

stabilire se è degenere o non degenere. La matrice associata alla quadrica è:

e il suo determinante è zero. Pertanto la quadrica è degenere e si riduce alla seguente:

   ( 2x + y + z - 1)² = 0

Notiamo che la quadrica si può scrivere in coordinate omogenee con le sostituzioni:

nel seguente modo:

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