In questa sezione voglio proporre una serie di problemi di massimo e
di minimo che si possono svolgere elementarmente, ossia senza
introdurre i tipici metodi dell'analisi matematica. Sono necessari
le nozioni basilari di geometria analitica con particolare
attenzione alla parabola.
Gli utenti interessati ai problemi di massimo e di minimo risolti
con i metodi dell'analisi matematica possono consultare la
pagina.
Problema 1
Dato un rettangolo di perimetro assegnato p determinare le misure
delle sue dimensioni per le quali risulta massima la sua area.
Risoluzione
Indichiamo con x > 0 la misura della base del rettangolo. Ne consegue
che l'altezza vale p/2 - x. Pertanto l'area è data dalla seguente
formula:
A = x(p/2 - x) = - x 2 + (p/2)x
e indicato l'area A con y si ottiene l'equazione
della parabola
y = - x 2 + (p/2)x
avente come ascissa del suo vertice xv = p/4.
Possiamo concludere che il rettangolo di perimetro assegnato è e di
area massima è il quadrato di lato l = p/4.
Il valore xv = p/4 ci indica la misura della base per la
quale l'area è massima in quanto la parabola y = - x 2 +
(p/2)x assume valore massimo per xv = p/4; a tal
proposito occorre ricordare che la parabola in questione rivolge
l'apertura nella direzione negativa dell'asse y e pertanto il suo
punto più alto è proprio il vertice, il che ci autorizza a
concludere che l'ascissa del vertice è quel particolare valore per
il quale la parabola assume valore più grande.
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