Numeri complessi ed operazioni
 Giulio D. Broccoli

Ogni numero complesso può essere scritto in forma algebrica nel seguente modo:

 
z = a + ib

ove a e b sono numeri reali e i, l'unità immaginaria, tale che:

i2  = -1     ossia              


Il numero reale a è la parte reale del numero complesso z, mentre il numero reale b è la parte reale dell'immaginario.

Esempio 1.-

Per a = 3 e b = 2 si ottiene il numero complesso:     z = 2 + 3i
Per a = -1 e b = -2 si ottiene il numero complesso:  z = -1 - 2i
Per a = 1/3 e b =
p si ottiene il numero complesso.   z = 1/3 + pi
Per a = 0 e b = 1 si ottiene il numero complesso:     z = i
Per a = -1 e b = 0 si ottiene il numero complesso:    z = -1


L'insieme di tutti i numeri complessi si indica con la lettera C, e dato che per b = 0 il numero complesso z = a + ib si riduce a z = a (dunque è un numero reale), include R (R
Ì C ) l'insieme dei numeri reali.
Due numeri complessi z = a + ib e w = c + id sono uguali se e solo se a = c e b = d.
Non ha senso invece confrontare due numeri complessi onde stabilire chi è il più grande e il più piccolo, perché l'insieme C non è ordinato.

I numeri complessi si possono rappresentare nel piano di Argand Gauss.
Il piano di Argand Gauss è il piano
t, in cui è stato fissato un riferimento  cartesiano Oxy, e ogni punto P, di coordinate (a, b), del piano viene associato con il numero numero complesso z = a + ib, e viceversa.
La parte reale a si prende sull'asse x (detto asse reale) e la parte immaginaria b sull'asse y (detto asse immaginario); P si dice immagine di z e si scrive P(z), mentre z si dice l'affissa di P.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il punto P si può rappresentare anche in funzione delle coordinate polari r e q . In tal caso sussistono tra le coordinate cartesiane (a, b) e le polari r e q le seguenti relazioni:

 a = r cos q ;   b = r sen q

e

,     

 

Un numero complesso z si può scrivere anche in altre forme:

Forma trigonometrica


z = r ( cos q  +  i sen q )

 

Forma esponenziale


z = r eiq

 

Esempio 2.- Scrivere in forma trigonometrica il numero z = 1 - i.
Si tratta di determinare
r e q , sapendo che a = 1 e b = -1. Si ha:

Pertanto il numero complesso z si può scrivere in forma trigonometrica nel seguente modo:

                

 

Esempio 3.- Scrivere in forma algebrica il numero  

Osservato che

      

,   

 

ricaviamo a e b:

Pertanto il numero complesso z si può scrivere in forma algebrica così: z = 1 +  i

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