Formulario Numeri complessi ed operazioni 


Ogni numero complesso può essere scritto in forma
 algebrica nel seguente modo:

 
z = a + ib

ove a e b sono numeri reali e i,
l'unità immaginaria, tale che:

i2  = -1     ossia              


Il numero reale a è la parte reale del numero complesso z,
mentre il numero reale b è la parte reale dell'immaginario.

Esempio 1.-

Per a = 3 e b = 2 si ottiene il numero complesso:     z = 2 + 3i
Per a = -1 e b = -2 si ottiene il numero complesso:  z = -1 - 2i
Per a = 1/3 e b =
p si ottiene il numero complesso.   z = 1/3 + pi
Per a = 0 e b = 1 si ottiene il numero complesso:     z = i
Per a = -1 e b = 0 si ottiene il numero complesso:    z = -1


L'insieme dei numeri complessi si indica con la lettera C,
e dato che per b = 0 il numero complesso z = a + ib si riduce a
z = a (dunque è un numero reale),
include R (R
Ì C )
l'insieme dei numeri reali.

Due numeri complessi

z = a + ib
e w = c + id

sono uguali se e solo se

a = c
e b = d.

Non ha senso invece confrontare due numeri complessi
onde stabilire chi è il più grande e il più piccolo, perché
l'insieme C non è ordinato.

I numeri complessi si possono rappresentare nel piano di Argand Gauss.
Il piano di Argand Gauss è il piano
t, in cui è stato
 fissato un riferimento  cartesiano Oxy, e ogni punto P,
di coordinate (a, b), del piano viene associato con il
 numero numero complesso z = a + ib, e viceversa.
La parte reale a si prende sull'asse x (detto asse reale) e
 la parte immaginaria b sull'asse y (detto asse immaginario);
P si dice immagine di z e si scrive P(z), mentre z si dice l'affissa di P.

Il punto P si può rappresentare anche in funzione
delle coordinate polari
r e q .
In tal caso sussistono tra le coordinate cartesiane

(a, b) e le polari
r e q le seguenti relazioni:

 a = r cos q ;   b = r sen q

e

,     

Un numero complesso z si può scrivere anche in altre forme:

Forma trigonometrica


z = r ( cos q  +  i sen q )

 

Forma esponenziale


  z = r eiq

 

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Numeri complessi

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