Ogni numero complesso può
essere scritto in forma algebrica nel seguente modo:
z = a + ib
ove a e b
sono numeri reali e i, l'unità immaginaria, tale
che:
i2
= -1 ossia 
Il numero reale a è la parte reale del numero
complesso z, mentre il numero reale b è la
parte reale dell'immaginario.
Esempio 1.-
Per a = 3 e b
= 2 si ottiene il numero complesso:
z = 2 + 3i
Per a = -1 e b = -2 si ottiene il numero
complesso: z = -1 - 2i
Per a = 1/3 e b =
p
si ottiene il numero complesso. z =
1/3 + pi
Per a = 0 e
b = 1 si ottiene il numero complesso:
z = i
Per a = -1 e b = 0 si ottiene il numero
complesso: z = -1
L'insieme di tutti i numeri complessi si indica con la
lettera C, e dato che per b = 0 il numero
complesso z = a + ib si riduce a z = a
(dunque è un numero reale), include R (R
Ì C )
l'insieme dei numeri
reali.
Due numeri complessi z = a + ib e w = c + id
sono uguali se e solo se a = c e b = d.
Non ha senso invece confrontare due numeri complessi
onde stabilire chi è il più grande e il più piccolo,
perché l'insieme C non è ordinato.
I numeri complessi si possono rappresentare nel
piano di Argand Gauss.
Il piano di Argand Gauss è
il piano
t,
in cui è stato fissato un riferimento cartesiano
Oxy, e ogni punto P, di coordinate (a, b), del
piano viene associato con il numero
numero complesso z = a + ib, e viceversa.
La parte reale a si prende sull'asse x (detto
asse reale) e la parte immaginaria b sull'asse y
(detto asse immaginario); P si dice immagine di z e si
scrive P(z), mentre z si dice l'affissa di P.
Il punto P si può
rappresentare anche in funzione delle coordinate polari
r
e
q
.
In tal caso sussistono tra le
coordinate cartesiane
(a, b) e le polari
r e
q
le
seguenti relazioni:
a =
r cos
q
; b = r
sen q
e
Un numero complesso z si può scrivere anche in altre
forme:
Forma trigonometrica
z =
r ( cos
q
+ i sen q
)
Forma esponenziale
z =
r eiq
Esempio 2.-
Scrivere in forma trigonometrica il numero z = 1 - i.
Si tratta di determinare
r e
q
,
sapendo che a = 1 e b = -1.
Si ha:
Pertanto il numero
complesso z si può scrivere in forma trigonometrica nel
seguente modo:
Esempio 3.-
Scrivere in forma algebrica il numero
Osservato che
ricaviamo a e b:
Pertanto il numero complesso z si può scrivere in forma
algebrica così: z = 1 + i
