a) Risoluzione di un'equazione di secondo grado con discriminante negativo.

E' noto che un'equazione algebrica di secondo grado con discriminante (D ) negativo non ammette soluzioni nell'insieme dei numeri reali.
Con l'introduzione dell'unità immaginaria possiamo risolvere anche le equazioni di secondo grado con D < 0.

Esempio 1.- Risolvere l'equazione algebrica x² + x + 1 = 0
L'equazione data ammette D negativo, D = (1) ² - 4 (1) (1) = - 3.  La risoluzione si ottiene applicando la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado e sostituendo all'atto di estrarre la radice quadrata:

Esempio 2.- Risolvere l'equazione algebrica x² + 4 = 0
L'equazione data ammette D negativo, D = (0) ² - 4 (1) (4) = - 16.  La risoluzione si ottiene nel seguente modo:

          

b) Risoluzione di un'equazione a coefficienti complessi

Esempio 3.- Risolvere l'equazione algebrica x² - 5ix - 6 = 0.
L'equazione presenta almeno un coefficiente complesso: a = 1, b = -5i, c = -6.
La risoluzione si ottiene applicando la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:

Esempio 4.- Risolvere l'equazione algebrica z² - 4z  = -3, con z = a + ib e z = a - ib

Sostituiamo z = a + i b e z = a - ib nell'equazione data e si ottiene:
 

     (a + i b)² - 4(a - i b) = - 3 ossia a² - b² + 2abi - 4a +4abi = -3 + 0i

e uguagliando la parte reale e la parte immaginaria si ottiene il sistema:

nelle incognite a e b.
Risolto tale sistema si vede che le soluzioni sono:

c) Estrazione di radice nell'insieme dei numeri complessi.
Per estrarre la radice ennesima di un numero complesso utilizziamo la scrittura trigonometrica di un numero complesso.