Esempio 2. Il sistema

 è equivalente al seguente sistema normale:

1)                     

poiché la quinta e la quarta equazione sono equivalenti alla prima, mentre la terza alla seconda.
Pertanto risolto quest’ultimo sistema, ridotto e normale, si vede che la soluzione del sistema dato è la coppia (-3,-2).

2. Sistemi omogenei.

Se il sistema (1.1) si dice omogeneo e si scrive così:

1.2)                   

Un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione banale  e, quindi, è sempre compatibile.  Inoltre, se ammette una soluzione non banale del tipo  ammette anche la soluzione del tipo  per qualsiasi valore di h, ossia,  ammette infinite soluzioni.
Quindi un sistema omogeneo non può essere incompatibile, ma al più compatibile.

Il sistema lineare omogeneo (1.2) si dice associato al sistema lineare (1.1) se si considera  come dedotto dal sistema (1.1) sopprimendo i termini noti.

Esempio 1. Il sistema lineare omogeneo

è associato al sistema 

  ,

poiché si ottiene da quest’ultimo sopprimendo la colonna dei termini noti.

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