b) Calcolo del rango di una matrice

Per calcolare il rango di una matrice si applica il seguente teorema di Kronecker.

Teorema

Il rango di una matrice A è r se e solo se:

1.       esiste un minore A' non nullo di A, di ordine r;

2.       tutti i minori di ordine r + 1, ottenuti orlando in ogni possibile modo il minore A' con righe e colonne di A, sono nulli.

N.B. Se la matrice è quadrata d'ordine n e se allora il rango della matrice è n.

Esempio 1.- Calcolare il rango della matrice .

Osservato che il minore  possiamo ipotizzare che il rango è almeno 2. L'unico orlato del minore A' è

         ,

e quindi il rango della matrice è 2.
Naturalmente, si poteva calcolare prima il determinante di A e, visto che è nullo, calcolare un minore del secondo ordine.

Osservazione
Gli orlati di un minore d’ordine h di una matrice A si ottengono costruendo minori di ordine superiore ad h con gli elementi del minore e gli elementi delle restanti righe e colonne di A.
Se la matrice A è di tipo [m,n] e se il minore A’  ha ordine h si possono costruire (m - h)(n -h) orlati di A’ di ordine h +1.
Un esempio chiarirà la procedura di costruzione degli orlati di un minore.
Data la matrice, di tipo [3,4] e il suo minore, d’ordine 2. Osserviamo che si possono costruire (3 - 2)(4 - 2) = 2 orlati di A’ , d’ordine superiore a 2.
Costruiamo, allora, un minore d’ordine 3 orlando con la terza riga e la quarta colonna:

cioè abbiamo aggiunto gli elementi della terza riga di A e della quarta colonna.
L’altro orlato di , con la terza riga e la terza colonna, è:

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