Formulario  - Rango o caratteristica di una matrice

 

Rango o caratteristica di una matrice

 

1. Generalità.-
a)
Si dice rango o caratteristica di una matrice

 

 

di tipo [p, m], il massimo ordine dei minori non nulli.

Evidentemente il rango di una matrice è al massimo
 uguale al minimo tra i numeri m e p.

Osservazione 1.-
I minori di una matrice A sono i determinanti di matrici
quadrate subordinate ad A.

Osservazione 2.-
Il rango di una matrice esprime il massimo numero
 di righe (o colonne) linearmente indipendenti.
Pertanto il rango di una matrice non cambia aggiungendo
o togliendo una linea (riga o colonna) che sia
 combinazione lineare di linee parallele.
Inoltre, il rango di una matrice non cambia se agli elementi
di una linea si sommano gli elementi corrispondenti di
un’altra linea parallela moltiplicati per una costante non nulla.

b) Calcolo del rango di una matrice

Per calcolare il rango di una matrice si applica il seguente teorema di Kronecker.

Teorema

Il rango di una matrice A è r se e solo se:

1.   esiste un minore A' non nullo di A, di ordine r;

2.   tutti i minori di ordine r + 1, ottenuti orlando in ogni possibile
modo il minore A' con righe e colonne di A, sono nulli.

 

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Osservazione 3.-
Il rango di una matrice A:

  • non cambia se si scambiano tra loro le righe con le colonne,
    cioè il rango di A coincide con quello della sua trasposta;
     
  • non cambia se si permutano due righe o due colonne;
     
  • non cambia se si elimina una riga (colonna) proporzionale ad un’altra;
     
  • non cambia o aumenta di 1 se si aggiunge una colonna
     
  • non cambia o aumenta di 1 o 2 se si aggiungono due righe.
     

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