Limiti di una funzione

5. Nozione di limite di una funzione.

Sia  y = f(x) una funzione reale definita in un sottoinsieme X di R  e c un punto d’accumulazione per l’insieme X.

Definizione.- Limite di  f(x) per x che tende a c.

Si dice che f(x) tende al numero reale L per x che tende a c, o che f(x) ha per limite L in c, e si scrive

                     ,

 se è verificata la seguente proprietà:

1)

Osservazione
L'intorno I di c dipende dall'intorno J e pertanto è corretto indicarlo, ossia conviene scrivere "I_J  di c" in luogo di "I di c". L'intorno I non è univocamente determinato dall'intorno J, e l'ampiezza di I dipende dall'ampiezza di J
Inoltre, notiamo che il punto c può appartenere ad X, essendo di accumulazione per X, e quindi l'intorno I è da intendersi come un intorno bucato di c, ossia la nozione di limite è un concetto che riguarda il comportamento della funzione in un intorno di I di c, ma non nel punto c.
 

La (1) si può esprimere equivalentemente nel seguente modo:

2) 

non appena si ricordi che un intorno I di c contiene un intervallo aperto contenente c e che la condizione f(x) Î J equivale a ½ f(x) - L ½< e, ove e è il generico raggio dell’intorno di centro L.

La proprietà (1) e quindi la (2), esprime geometricamente,  in un riferimento Oxy del piano, il fatto

che i punti del grafico della  funzione f(x) aventi ascissa  x Π, distinti da c, sono compresi nel rettangolo  di  dimensioni 2 e  2e .  

Nelle figure 1 e 2 sono illustrate alcune eventualità.      

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