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In pratica, basta verificare se la disequazione:
1/n > e
ammette soluzione
"e > 0.
Tale disequazione è verificata per n < 1/e,
ma non ammette soluzione in N. Infatti, per e
= 10, ad esempio, dovrebbe essere n < 1/10 il che è impossibile
essendo n Î
N.
Questo significa, ad esempio, che 1/n è sempre minore di 10.
In conclusione l'insieme A è limitato inferiormente e
superiormente, risultando
-1 < 1/n < 10,
"
n Î
N
e la prima proprietà dell'estremo
inferiore (e superiore) è verificata.
Naturalmente non possiamo stabilire che inf A = -1 e sup
A = 10, poiché - 1 non è il massimo dei minoranti di A e 10 non
è il minimo dei maggioranti di A.
Osserviamo, dunque, che al variare di n in N il generico elemento di A è
sempre positivo e però sempre minore di 1 poiché la frazione è
propria per n > 1.
Quindi il massimo dei maggioranti è zero: inf A = 0; mentre il
minimo dei maggioranti di A è 1 e quindi sup A = 1, che è anche
massimo dato che 1 Î
A.
Verificare che 1 e zero verificano rispettivamente la seconda
proprietà dell'estremo superiore e inferiore.
Esempio 3.-
Calcolare l'estremo inferiore (e superiore) dell'insieme
A = { (-1)n/n ,
"
n Î
N }
e dire se sono massimo e minimo.
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