Sia A un sottoinsieme di R.
Ricordiamo che un numero reale p tale che:

p ≥ x,    " x Î A

si dice un maggiorante per l'insieme A.
Mentre un numero reale q tale che:

 q ≤ x,   " x Î A

si dice un minorante dell'insieme A.
Evidentemente se esiste un minorante (maggiorante) di un insieme A ne esistono infinti, tutti i numeri più piccoli di q (più grandi di p).

Definizione di estremo superiore. Si dice estremo superiore dell'insieme A il più piccolo degli maggioranti di A e si indica con il simbolo sup A. Definizione di estremo inferiore. Si dice estremo inferiore dell'insieme A il più grande dei minoranti di A e si indica con il simbolo inf A.	Come determinare gli estremi superiore ed inferiore di un insieme
	Giulio D. Broccoli pag. 50 36 esercizi svolti e 30 da svolgere
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Molto utili per gli esercizi sono le seguenti due proprietà caratteristiche rispettivamente dell'estremo superiore ed inferiore.

Proprietà caratteristica dell'estremo superiore

In genere le (1) e (2) si dicono rispettivamente la prima e la seconda proprietà dell'estremo superiore.

Proprietà caratteristica dell'estremo inferiore

Esempio 1.- Calcolare l'estremo superiore dell'insieme A = { (n-1)/(n+1) , " n Î N }

Si tratta di determinare un numero reale tale che verifichi le proprietà caratteristiche (1) e (2) dell'estremo superiore.
Analizziamo dunque l'insieme A onde scoprire se i suoi elementi sono maggiorati da qualche numero reale.
Facendo variare n in N si ottengono gli elementi dell'insieme A. Ad esempio, si ha:

n = 1    l'elemento  x di A   è  x = 0
n = 2    l'elemento  x di A   è  x = 1/2
...                                     x = ...
n = 4    l'elemento  x di A   è  x = 3/5
...
...                                      x = ...

così procedendo si capisce che A è costituito da infiniti elementi tutti minori di 1, essendo la frazione (n-1)/(n+1) propria.
In pratica, siamo indotti a pensare che l'elemento generico x dell'insieme A soddisfa a delle limitazioni del tipo:

1)                           0 < x < 1,

ma allora soddisfa anche ad infinite altre limitazioni del tipo:

-4 < x < 3,    -1 < x < 8,  -p < x < 200

... ecc.

Da tutto questo nostro ragionamento si evince che la prima proprietà dell'estremo superiore è vera. Infatti, ogni numero x di A è minore di 1, ma anche di 3, e di 8 e di 200... ecc.
In sostanza, aver stabilito la relazione (1) ancora non basta per poter affermare che 1 è l'estremo superiore*.

Dobbiamo pertanto provare se il numero reale 1, ipotizzato come estremo superiore, verifica anche la proprietà (2).
Il numero E = 1 deve verificare la seguente proprietà:

"e > 0 $ x_e Î A :  1 - e < x_e 

cioè dobbiamo verificare se effettivamente la disequazione

1 - e < x_e 

ammette soluzione in A "e > 0_{.
Sostituendo} (n-1)/(n+1) = x_{e , elemento generico di A, si ha la disequazione:}

2)                 1 - e < (n-1)/(n+1)

nell'incognita n, e che ammette la soluzione:

3)                          n > (2-e)/e

"e > 0.
Pertanto l'elemento E = 1 verificando le due proprietà caratteristiche è l'estremo superiore di A: sup A = 1.

Per capire meglio osserviamo quanto segue.
La (3) ci dice che se scegliamo, ad esempio, e = 1/2 basta prendere n maggiore di 3:

n = (2-1/2)(1/2) > 3,

infatti per n = 4 > 3 otteniamo l'elemento x = (n-1)/(n+1) = 3/5 di A e tale elemento soddisfa la disequazione (2):

1 - 1/2 = 1/2 < 3/5

Se, invece, scegliamo e = 1/50 basta prendere n > 99:

n = (2-1/50)(1/50) > 99

infatti per n = 100 > 99 otteniamo l'elemento x= (n-1)/(n+1) = 99/101 di A e tale elemento soddisfa la disequazione (2):

1 - 1/50 = 49/50 < 99/101

In sostanza, scegliendo n > (2-e)/e la disequazione (2) è verificata "e > 0, cioè esiste sempre un elemento di A che verifica la (2), ossia è vera la seconda proprietà dell'estremo superiore.
Provare a vedere cosa succede se si ipotizza che l'estremo superiore sia E = 3, E = 8, E = 200, ... ecc.

Esempio 2- Calcolare l'estremo inferiore (e superiore) dell'insieme A = { 1/n , " n Î N }    

Cominciamo ad osservare se l'insieme A è limitato superiormente ed inferiormente. Di sicuro A è limitato inferiormente, essendo, ad esempio, -1 un minorante. Infatti, al variare di n Î N gli elementi dell'insieme A sono sempre positivi
Per stabilire se A è limitato superiormente dobbiamo verificare se esiste un numero maggiore di 1/n, " n Î N, il che equivale a verificare se il generico elemento di A è maggiore di un qualsiasi numero numero e > 0.
 

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*Osservando che 1 è il più piccolo dei maggioranti di A si può affermare subito che è l'estremo superiore.

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