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4. Punti di
aderenza e di accumulazione.
Un punto c di R si
dice di aderenza per un sottoinsieme X di R se
ogni intorno di c ha intersezione non vuota con X;
mentre si dice di accumulazione se per ogni intorno di c
l’intersezione con X è sempre non vuota e diversa dal
singleton di c.
Evidentemente ogni punto
d’accumulazione è di aderenza ma non è vero il viceversa;
inoltre se c è un punto d’accumulazione per X
allora esistono infiniti punti di X prossimi a c e
distinti da c.
L’insieme di tutti i punti
d’accumulazione di X si dice derivato di X e si
denota con DX; mentre l’insieme dei punti di aderenza,
che si dice anche chiusura di X, si denota con
 .
Esempio 1.-
L’insieme dei punti d’accumulazione degli intervalli ]a,b[
,[a,b], ]a,b], [a,b[ è
l’intervallo chiuso [a,b].
Esempio 2.-
Sia X = {p},
con pÎ
R. L’insieme dei punti d’accumulazione di X è
vuoto, DX =
Æ,
in quanto non esiste un intorno I di p tale che I
Ç
X
¹{p};
mentre l’insieme dei punti di aderenza di X è X
stesso.
Esempio 3.-
Sia X = [a,b]
È
{p}, con pÎ
R e p > b. L’insieme dei punti d’accumulazione per
X è l’intervallo chiuso [a,b] ; mentre l’insieme
dei punti di aderenza è X stesso.
Esempio 4.-
Sia X = ]a,b[ - {p}, con pÎ
R e a < p < b. Si ha: DX = [a,b].
Esempio 5.-
Sia X = N,
insieme dei numeri naturali. Ogni punto n
Î
N non è d’accumulazione per X = N in quanto
non è vero che per ogni intorno I di n si ha:
I Ç
N
¹
{n}, I
Ç
N ¹
Æ.
Ad esempio, per n = 4 e
0 <
d < 1 si ha:
] 4 -
d
, 4 +
d
[
Ç N = {4},
in quanto i numeri reali
compresi tra 4 -
d
e 4 +
d
non appartengono ad N.
I punti n
Î
N sono punti isolati di N e ha:
 .
Giova osservare che
N ammette una accumulazione all’infinito, infatti in ogni
intorno di più infinito cadono sempre punti di N e distinti da
più infinito.
Esempio 6.-
Ogni insieme finito non ammette punti d’accumulazione. Mentre
ogni insieme infinito e limitato ammette almeno un punto
d’accumulazione (Teorema
di Bolzano Weierstrass).
Esempio 7.-
Sia  .
Si ha DX = {0}, cioè l’unico punto d’accumulazione è lo
zero; si noti che esso non appartiene all’insieme X.
Esempio 8.-
Sia  .
Si ha: DX = {0},
=
FX = X.
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