N.8.- Verificare che (*).

In base alla definizione di limite occorre risolvere la disequazione:

5)            

con e  numero reale positivo scelto a piacere.

La (5) è equivalente, nell’ipotesi cos x - 1< 0 Û cos x < 1 Û "xÎ] 0 , 2p [ , alla seguente disequazione:

6)      

ed è verificata nell’intorno  di x = 0, con .

Ne discende che la scrittura (*) è corretta.

N.9.- Verificare che (*).

In base alla definizione di limite occorre risolvere la disequazione:

7)               

 con e  numero reale positivo scelto a piacere e x ³ 0. La (7) è equivalente alla seguente:

8)                  

ed è verificata nell’intorno di + ¥ . Ne consegue che la scrittura (*) è esatta.

N.10.- Verificare se la scrittura  (*) è esatta.

La disequazione:

è verificata per   che non è, per ogni  e>0, un intorno di x = 1.
Ad esempio, per e = 9 si ha ]-1, 5[ che un intorno di x = 1, ma per e =1 si ha ]5/3, 7/3[ che non è un intorno di x = 1.
Pertanto, non essendo vero che per ogni  e > 0 l'intervallo ] 2-e/3, 2+e/3[ è un intorno di x = 1, si deduce che la scrittura (*) non è esatta.

N.11.-  Verificare che (*).

La scrittura (*) non ha significato in quanto x = -2 non è un punto d’accumulazione per l’insieme X =  di definizione della funzione .

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