Ad esempio le funzioni:

                          x,       

sono infinitesime dello stesso ordine ( precisamente equivalenti).

Mentre   è infinitesima di ordine superiore rispetto a  e d’ordine inferiore rispetto ad x.

Osserviamo che:

si ha:

             è un infinitesimo, per x ® 0 da destra, d’ordine superiore rispetto a ,

cioè: .

Esempio 10.- Visto che risulta per la (6) anche che  , o più in generale , essendo h(x) una funzione che soddisfa alle condizioni esposte nella (6).

e) Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.

Siano  infinitesimi  ( risp. infiniti ) in c, con  d’ordine superiore rispetto a  e  d’ordine superiore rispetto a . Allora si ha:

                            [1]

sempreché i suddetti limiti esistano.

Ne consegue che nella ricerca del limite del rapporto     è lecito trascurare al numeratore e al denominatore:

·       l’addendo che è infinitesimo d’ordine superiore;

·       l’addendo che è infinito d’ordine inferiore o definitivamente limitato intorno a c.

Esempio 1.- Calcolare il limite *).

Osservato che:

  ord x⁴ = 4 > ord 2x = 1, ord 3x⁴ > ord x³,

consegue, trascurando gli infiniti d’ordine inferiore, che il limite (*) è equivalente al  seguente:  .

Esempio 2.- Calcolare il limite *).
Il liimite vale zero.

Osservato che:   

ord x³  = 3 > ord 2x = 1 > ord  = 1/5 ,  ord x²  = 2  > ord  =1/7 > ord  = 1/8, consegue, trascurando gli infinitesimi d’ordine superiore, l'asserto.

Esempio 3.- Calcolare il limite *).

Il limite è uguale al seguente: .

Infatti sussiste la seguente implicazione:

< indietro

avanti >