2)              è infinitesimo ( risp. infinito ) in c  e         ;       [1]

3)        f(x) / h(x)     è un infinitesimo ( risp. infinito) in c e            se   p > q;

4)        f(x) / h(x)     è un infinito (risp. infinitesimo) in c  e               se   p < q.

5)       ½ f(x)½^b               (con b > 0 ) è un infinitesimo ( risp. infinito) d’ordine bp.

6)      Siano f(x) e g(x) sono due funzioni definite in Y ed infinite (infinitesime) in . Sia poi h(x) una funzione definita in X ed a valori in Y tale che  ed esista un intorno   di  tale che  in .

Allora si ha:

                                .

Esempio 1.- Essendo si deduce che la funzione  y = 1- cos x  è un infinitesimo in 0 del secondo ordine ( p = 2 ) rispetto all’infinitesimo campione  y = x .

Esempio 2.- Essendo  si deduce che la funzione  y = tg x  è un infinitesimo in 0 equivalente all’infinitesimo campione  y = x .

Esempio 3.- Risulta: , ossia la funzione y = tg³ x è un infinitesimo in x = 0 d’ordine superiore rispetto alla funzione y = x², il che si può provare osservando che y = tg³ x  è un infinitesimo dello stesso ordine rispetto ad  y = x³ : .

Esempio 4.- La funzione   è per x ® ± ¥ un infinito d’ordine n equivalente a .

Ad esempio i limiti:

che si presentano nella forma indeterminata + ¥ - ¥, sono rispettivamente equivalenti ai seguenti:

                    ,                      

Esempio 5.- Le funzioni  sono infinitesime in 0 di ordini rispettivamente 3 e 1 rispetto ad x. Ne consegue che la funzione  è infinitesima in 0 e

Esempio 6.-  Le funzioni sono infinite in + ¥ rispettivamente di ordine 3 e 1/4. Ne consegue che la funzione è un infinito d’ordine 3 - 1/4 = 11/4

Esempio 7.-  La funzione arctg x è un infinitesimo in 0 d’ordine 1; ne consegue che arctg⁴ x è un  infinitesimo d’ordine 1×4 = 4.

La funzione 1 - cos x è un infinitesimo in 0 d’ordine 2; ne consegue che (1- cos x )³ è un infinitesimo d’ordine 2× 3 = 6

Esempio 8.- Le funzioni elementari:

sono infinite per x ® + ¥, e si può stabilire la seguente scala d’infiniti (fig. 1):

Pertanto  è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di x ad esponente positivo, mentre  è un infinito d’ordine superiore a qualsiasi potenza di x ad esponente positivo.

Osserviamo anche che: 

si ha:

             è un infinito, per x ® + ¥, d’ordine superiore rispetto a .

Così ad esempio  è un infinito d’ordine superiore rispetto, poichè ½ > 1/3.

Esempio 9.- Si può costruire anche una scala d’infinitesimi. Nella fig. 2 abbiamo rappresentato alcune funzioni infinitesime in 0 ma di ordini diversi.

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