Limiti di funzioni - Giulio D. Broccoli

   

9. Infinitesimi ed infiniti.

 

a) Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo in  c se:

 

       ,

 

mentre si dice che è un infinito in  c se

 

       .

 

Naturalmente se f(x) è un infinitesimo in c e se f(x) ¹ 0 intorno a c allora 1/ f(x) è un infinito in c e viceversa.

 

b) Confronto tra infinitesimi e infiniti.

·       Si dice che gli infinitesimi (risp. infiniti) in c, f(x) e h(x), sono dello stesso ordine, e si scrive, se:

 

                 > 0 .

 

In particolare se risulta l = 1 gli infinitesimi ( risp. infiniti ) si dicono equivalenti in c, e si scrive:        

    

                    f(x)  h(x)

 

 o più semplicemente:  f(x) º g(x)

 

·       Si dice che  f(x) è un infinitesimo in c di ordine superiore (risp. inferiore) rispetto all’infinitesimo in c h(x) se:

 

                 .

 

In tal caso si scrive: [1] .

 

·       Si dice che  f(x) è infinito in c di ordine superiore (risp. inferiore) rispetto all’infinito h(x) in c se:

 

                .

 

 

In tal caso si scrive:   .

 

Esempio 1.- Le funzioni  sono infinitesime in x = 0, però   è un infinitesimo d’ordine superiore rispetto a  y = x, poichè: .

Pertanto scriveremo:

 

                 oppure     1- cos x = o(x).

 

Esempio 2.- Per x ® + ¥, la funzione  è un infinito d’ordine superiore rispetto alla funzione . Infatti si ha: .

 

Esempio 3.- Le funzioni  f(x) = sen3x  e h(x) = 3x infinitesime in x = 0 sono equivalenti in quanto:  .

 

 

 

c) Ordine di un infinitesimo e di un infinito.

Siano  f(x) e h(x) due infinitesimi ( risp. infiniti) in c. Si dice che f(x) è un infinitesimo ( risp. infinito) di ordine p rispetto all’infinitesimo (risp. infinito) campione h(x) se esiste un numero reale p > 0 tale che:

 

           (  l  finito).

 

Se invece per ogni numero reale p > 0 risulta:

 

        ,                 (risp.    )

 

si dice che  f(x) è un infinitesimo ( risp. infinito) d’ordine infinitamente grande rispetto ad h(x).

Abitualmente si sceglie come infinitesimo campione  o  a seconda che c Πoppure c = ± ¥; mentre si assume come infinito campione    o  a seconda che c ÎR  oppure c = ± ¥.

 

RICORDIAMO

Siano  f(x) e h(x) sono due infinitesimi ( risp. infiniti ) in c di ordine p e q .  Allora si ha:

 

1)          è infinitesima in  c   e      ;

            

           ( risp.   è infinita in c  e     ;


 

[1]Utilizzando la notazione di Landau si può scrivere anche  che si legge  “  f  è un o piccolo di h in  c ” .

 

 

 

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