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9. Infinitesimi ed infiniti.
a)
Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo in c
se:
 ,
mentre si dice che è un infinito
in c se
 .
Naturalmente se f(x) è un
infinitesimo in c e se f(x)
¹
0 intorno a c
allora 1/ f(x) è un infinito in c e viceversa.
b)
Confronto tra
infinitesimi e infiniti.
·
Si dice che gli
infinitesimi (risp. infiniti) in c, f(x) e
h(x), sono dello stesso ordine, e si scrive ,
se:
 >
0 .
In particolare se risulta l =
1 gli infinitesimi ( risp. infiniti ) si dicono equivalenti in
c, e si scrive:
f(x)
 h(x)
o
più semplicemente: f(x)
º
g(x)
·
Si dice che
f(x) è un infinitesimo in c di ordine superiore
(risp. inferiore) rispetto all’infinitesimo in c h(x)
se:
  .
In tal caso si scrive:
 .
·
Si dice che
f(x) è infinito in c di ordine superiore (risp.
inferiore) rispetto all’infinito h(x) in c se:
  .
In tal caso si scrive:
.
Esempio 1.- Le
funzioni  sono
infinitesime in x = 0, però
 è
un infinitesimo d’ordine superiore rispetto a y = x,
poichè:  .
Pertanto scriveremo:
 oppure
1- cos x = o(x).
Esempio 2.- Per x
® +
¥,
la funzione  è
un infinito d’ordine superiore rispetto alla funzione
 .
Infatti si ha:  .
Esempio 3.-
Le funzioni f(x) = sen3x
e h(x) = 3x infinitesime in x = 0 sono equivalenti
in quanto:  .
c)
Ordine di un
infinitesimo e di un infinito.
Siano f(x) e h(x)
due infinitesimi ( risp. infiniti) in c. Si dice che
f(x) è un infinitesimo ( risp. infinito) di ordine p
rispetto all’infinitesimo (risp. infinito) campione h(x)
se esiste un numero reale p > 0 tale che:
 (
l finito).
Se invece per ogni numero reale
p > 0 risulta:
 ,
(risp.  )
si dice che f(x) è un
infinitesimo ( risp. infinito) d’ordine infinitamente grande
rispetto ad h(x).
Abitualmente si sceglie come
infinitesimo campione
 o
 a
seconda che c
ÎR
oppure c =
±
¥;
mentre si assume come infinito campione
 o
 a
seconda che c
ÎR
oppure c =
±
¥.
RICORDIAMO
Siano f(x) e h(x)
sono due infinitesimi ( risp. infiniti ) in c di ordine
p e q . Allora si ha:
1)
 è
infinitesima in c e
 ;
( risp.
è
infinita in c e
 ;
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