Formulario Limiti di funzioni

   

9. Infinitesimi ed infiniti.

 

a) Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo in  c se:

 

       ,

 

mentre si dice che è un infinito in  c se

 

       .

 

Naturalmente se f(x) è un infinitesimo in c e se intorno a c allora 1/ f(x) è
un infinito in c e viceversa.

 

b) Confronto tra infinitesimi e infiniti.

  • Si dice che gli infinitesimi (risp. infiniti) in c,  f(x) e h(x), sono dello stesso ordine,
     e si scrive , se:

 

                 .

 

In particolare se risulta l = 1 gli infinitesimi ( risp. infiniti ) si
dicono equivalenti in c, e si scrive:        

    

                     

 

o più semplicemente:  
Utilizzando la notazione di Landau si può scrivere anche   che si legge  “  f  è un o piccolo di h in  c

 

  • Si dice che  f(x) è un infinitesimo in c di ordine superiore (risp. inferiore)
    rispetto all’infinitesimo in c h(x) se:

 

                      .

 

In tal caso si scrive:

 

    ,    .

 

  • Si dice che  f(x) è infinito in c di ordine superiore (risp. inferiore)
     rispetto all’infinito h(x) in c se:

 

                  .

 

 

In tal caso si scrive:

 

,        .

 

 

c) Ordine di un infinitesimo e di un infinito.

Siano  f(x) e h(x) due infinitesimi ( risp. infiniti) in c.
Si dice che f(x) è un infinitesimo ( risp. infinito) di
ordine p rispetto all’infinitesimo (risp. infinito)
campione h(x) se esiste un numero reale p > 0 tale che:

 

         .

 

Se invece per ogni numero reale p > 0 risulta:

 

       ,                

 

si dice che  f(x) è un infinitesimo ( risp. infinito) d’ordine infinitamente grande rispetto ad h(x).

Abitualmente si sceglie come infinitesimo campione

 

     o    

 

a seconda che    oppure  ;

mentre si assume come infinito campione

 

    o    

 

a seconda che   oppure .

 

RICORDIAMO

Siano  f(x) e h(x) sono due infinitesimi ( risp. infiniti ) in c di ordine p e q
Allora si ha:

 

1)         è infinitesima in  c   e     ;

1')             è infinita in c  e         

          

I teoremi 2, 3, 4, 5 sussistono nell’ipotesi che intorno a c.

2)         è infinitesimo ( risp. infinito ) in c  e       

 

3)            è un infinitesimo ( risp. infinito) in c e    ;

 

4)          è un infinito (risp. infinitesimo) in c  e       .

 

5)           (con b > 0 ) è un infinitesimo ( risp. infinito) d’ordine .

 

6)      Siano f(x) e g(x) sono due funzioni definite in Y ed infinite (infinitesime) in y0.
 Sia poi h(x) una funzione definita in X ed a valori in Y tale che

 

     

ed esista un intorno I  di x0 tale che

Allora si ha:

 

             .

 

<

 >

Indice
Limiti di una funzione

Torna all'indice