5.- Integrazione delle funzioni razionali fratte.

Si voglia calcolare l’integrale

1)       ,

con  f(x) e h(x) polinomi in x  di grado m ed n rispettivamente .

Se n £ m  mediante la divisione dei polinomi f(x) diviso h(x) si ha:  

         ,

 e, dividendo per h(x) ¹ 0, si ha:

         .

Ne consegue  che l’integrale (1) si può scrivere nel seguente modo: 

         =,

ove il grado di  r(x) è minore di n. Pertanto, se n £ m  l’integrale di una funzione fratta si può sempre ricondurre al caso in cui è n > m..

Per calcolare l’integrale (1), con la condizione n > m, distinguiamo i seguenti casi:

a) Il polinomio h(x) ammetta  solo radici reali semplici . In tal caso la funzione integranda si scompone in fratti semplici nel seguente modo:

ove le costanti  si possono calcolare  con il principio d’identità dei polinomi.

Ne consegue che:

         = 

Esempio 1.- Calcolare l’integrale:  . 

Il polinomio x³ - 5x² + 6x ammette le seguenti radici reali x = 0, x = 2, x = 3.  Pertanto si ha:

2)          =

con A, B, C  costanti reali opportune da calcolare.

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