3. Integrali notevoli.
Se nella tabella fondamentale degli integrali sostituiamo

                       x    con    f(x)

e

                      dx   con    f '(x)dx
 

si ottengono delle altre formule d'integrazione, che ricordiamo qui di seguito:

1)      

2)      

3)           ®  

4)      

5)      

6)      

7)      

8)      

Esempio 1.-  Calcolare l'integrale ò 3(3x +1)⁴ dx.

L'integrale rientra nella formula (1), ove risulta  f(x) = 3x + 1. Osserviamo che il fattore
 

3 dx   è     f '(x)dx,

essendo 3 la derivata della funzione f(x) = 3x + 1.
Pertanto si ha:

 ò 3(3x +1)⁴ dx = (3x +1)⁵ /5 + c

Esempio 2.-  Calcolare l'integrale ò (3x +1)⁴ dx.

L'integrale rientra nella formula (1), ove risulta  f(x) = 3x + 1, in questo caso però manca il fattore 3, cioè la derivata di f(x) = 3x + 1, e quindi non è applicabile direttamente la formula (1).
Bisogna prima far comparire la derivata di  f(x) = 3x + 1 sotto il simbolo d'integrazione, cioè bisogna far comparire il fattore 3, il che si ottiene moltiplicando e dividendo la funzione integranda per 3, e ci si riconduce al caso dell'esempio precedente.

 ò [3/3](3x +1)⁴ dx =  ( 1/ 3 ) ò 3(3x +1)⁴ dx = (1/15)(3x +1)⁵  + c

Esempio 3.-     ?

Osservato che la derivata D(2x² – 1) = 4x si evince che l’integrale dato si può ricondurre all’applicazione del primo integrale notevole .

Infatti, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per 4, si ha l’identità:

             =    .

Pertanto l’integrale (*) si può calcolare nel seguente modo:

          =    =     =

=  =