Teorema della media.

Se una funzione y = f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], allora esiste un punto c di tale intervallo per il quale si ha:   

 

 

o, in forma equivalente: 

 

Dimostrazione

Supponiamo che la funzione f(x) sia positiva nell’intervallo [a,b] e siano m e M il minimo ed il massimo assoluti della funzione in tale intervallo, che esistono certamente per il teorema di Weierstrass. Allora, come si vede dalla figura 1, l’area del trapezoide ABB’A’ è compresa fra l’area del rettangolo CDB’A’ e l’area del rettangolo EFB’A’, cioè:

 

 

 

 

 

 

 

 

ossia:

 

da cui dividendo per  si ha:

 

Quindi il numero fornito dall’espressione

                                     

 è compreso tra  il minimo m ed il massimo M di f(x) nell’intervallo [a,b].  Di conseguenza in virtù del teorema di Bolzano deve esistere un punto c in cui f(x) assume tale valore, ossia 

 

 

Il valore f ( c ) prende il nome di valor medio della funzione f(x) nell’intervallo [a,b].