Il punto x = 0 Π è l’unica soluzione della (3), ossia il grafico della funzione interseca l’asse x solo nell’origine O(0,0).

Osserviamo anche che non vi sono ulteriori intersezioni della funzione con gli assi cartesiani, il che si vede provando che il sistema:

 

                    

 

non ammette soluzioni oltre alla coppia ( x = 0, y = 0).

 

 

Un altro modo di risolvere la (2) consiste nell’analizzare il segno del numeratore e del denominatore della frazione al variare di x in D, risolvendo separatamente le disequazioni:

 

                  

 

e ritrovando in ogni caso l’insieme soluzione .

 

Il diagramma della funzione non interseca le rette x = 1, x = -1 e quindi risulta necessario stabilire l’andamento del grafico della funzione quando attribuiamo alla variabile indipendente valori sempre più prossimi a  x = 1 ed a  x = -1.

Inoltre,  essendo  il dominio non limitato, è possibile attribuire alla x valori sempre più grandi; e quindi è  anche necessario stabilire l’andamento del grafico al tendere di x a  + ¥  ed a - ¥.

In breve, bisogna  stabilire se la funzione possiede degli asintoti per individuare l’andamento del grafico negli estremi del dominio.

Tali estremi sono, al finito, i punti d’accumulazione del dominio in cui la funzione non  è definita, e all’infinito i  punti  ± ¥.

Questa ulteriore analisi si effettua ricercando i limiti della funzione negli estremi del dominio.

Pertanto siamo condotti a calcolare i seguenti limiti:

 

7)         ,               (8)  ,