Problema 5.
(Assegnato
alla sessione ordinaria del 1990)
1)
Data una semicirconferenza di diametro
e
centro O, tracciare la semiretta uscente da A,
perpendicolare ad AC e giacente rispetto ad AC
dalla stessa parte della circonferenza. Detto M
un punto generico su tale semiretta, indicare con x
la distanza di M da A. Da M
staccare l’ulteriore tangente in B alla
semicirconferenza. Detta K l’intersezione della
semicirconferenza con il segmento OM, determinare
l’area y del quadrilatero ACBK in funzione
di x.
Determinare il valore di
y per x tendente a +
¥.
2)
Determinare il luogo dei centri delle circonferenze
tangenti alla retta y = 37/12 e passanti per A(0
, 19/12) ed il luogo dei centri delle circonferenze
tangenti alla circonferenza di equazione:
x2
+ y2
+
4x + 4y - 8 = 0
e passanti per B(2,2).
Calcolare quindi l’area
della parte di piano racchiusa dalle due curve.
3)Tracciare
il grafico della funzione
.
La funzione data
rappresenti per x
³
0 la legge
oraria del moto di un punto che si muove lungo una
semiretta ( x rappresenti il tempo e y la
distanza del punto P dall’origine della semiretta
su cui si muove). Determinare in quale istante P
raggiunge la massima velocità ed in quale istante
l’accelerazione è nulla.
1° quesito.-
Costruiamo la figura in base al testo (fig.1).
Il problema richiede di
determinare l’area S(x), del quadrilatero
ACBK in funzione di
.
Tale area y = S(x) può essere calcolata
come somma delle aree dei triangoli AKO, KBO
e BOC, cioè:
1)
Osserviamo però che i
triangoli AKO e BOK sono uguali. Infatti
per il teorema delle tangenti ad una circonferenza la
retta OM è bisettrice dell’angolo
(
fig. 1), cioè:
.