Problema N. 8.

a) In un riferimento di assi cartesiani ortogonali si consideri la parabola avente equazione  , che incontra l’asse delle ascisse nei punti O e C, e la retta avente equazione y = k ( con 0 < k < 1 ), che incontra la parabola nei punti A e B.

Si determini per quale valore di k risulta massimo il volume del solido generato dal trapezio OABC in una rotazione completa attorno all’asse delle ascisse.

b) Si determino i coefficienti dell’equazione

 in modo che la curva da essa rappresentata abbia un estremo relativo in P(1,0). Se ne disegni il grafico. Condotta per P la retta tangente alla curva nel punto Q, si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalla curva, dalla retta PQ e dall’asse delle ascisse.

[Estratto Sessione suppletiva 1978]

Problema N. 9.

a) Data la funzione

                                  ,

se disegni il grafico dopo aver determinato i massimi ed i minimi, per i valori di x nell’intervallo [0, 2p].

b) In un settore circolare di raggio r e ampiezza p/6, si inscriva un rettangolo avente un lato su uno dei raggi limitanti il settore e gli altri due vertici, l’uno sull’arco e l’altro sul rimanente raggio.

Si determini tra tali rettangoli quello per il quale è minima la diagonale.

[Estratto da Sessione suppletiva 1980]

Problema N. 10.

a) In una circonferenza di raggio r si considera la corda AB che dista r/2 dal centro. Si prenda sul maggiore degli archi AB il punto C, si prolunghi AC di un segmento CD tale che CD = AC e si determini per quale posizione di C è massima l’area del triangolo CDB.

b) Si determinino i coefficienti dell’equazione

in modo che la curva da essa rappresentata ammetta come  asintoto obliquo la retta y = x  - 2, abbia un estremo nel punto d’ascissa x = 2 ed un flesso nel punto d’ascissa x = -1.
Se ne disegni il grafico.
Si calcolino inoltre le intersezioni della curva con l’iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati e passante per il punto  di coordinate ( 1,3) e si calcoli l’area della regione finita di piano limitata dalle due curve.

[Estratto da Sessione suppletiva 1981]

Problema N. 11.

a) Si studi la funzione

e se ne tracci il grafico. Si determinino le intersezioni di questa curva con la curva d’equazione   e si  calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.

b) Si determinino i coefficienti dell’equazione  ( con a > 0 ) in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alla rette aventi equazioni y = x e y = x/2 ed abbia la corda congiungente i due punti di contatto di lunghezza 5/2.

c) Si studi la funzione nell’intervallo aperto ]0,2p[ e se ne disegni il grafico.

[ Estratto da Sessione suppletiva 1982 ]