15. Interpretazione
cinematica della nozione di derivata.
Dal punto di vista
cinematico la nozione di derivata può essere
interpretata come la velocità di un punto in un certo
istante.
Precisamente, la
velocità v di un punto P0 all’istante
t0 , in moto rettilineo secondo la
legge oraria s = s (t), è il valore che assume
la derivata s¢
(t) per t
= t0 , ossia:
1)
Inoltre l’accelerazione
dello stesso punto P0 all’istante t0
coincide con il valore che assume la derivata seconda
della funzione ( legge oraria ) s = s(t) per t
= t0 , ossia:
2)
Osservazione 1
Ricordiamo che:
·
Un punto
mobile è fermo all’istante t se: v(t) = 0,
·
Se a(t)
= 0 il punto mobile P all’istante t si muove
con velocità costante cioè il moto è uniforme;
·
Se è
v(t) > 0 il punto P all’istante t ha un moto
progressivo, mentre se è v(t) < 0 il moto è
retrogrado.
Esempio 1.-
Determinare la velocità
e l’accelerazione all’istante t = 5sec di un
punto P in moto lungo una retta secondo la legge oraria
.
Si ha:
v(t)= 3t2
-10t , a(t) = 6t -10
.
Ne consegue che:
v(5)= 3(5)2
-10(5) = 25m/sec, a(5) =
6(5) -10 = 20 m/sec2
Osservazione 2
Giova ricordare
che nel sistema di misura internazionale S.I. le unità
di misura delle grandezze fondamentali
lunghezza e tempo sono rispettivamente:
il metro
(m), il secondo ( sec);
mentre la velocità e
l’accelerazione, che sono delle grandezze derivate, si
misurano rispettivamente in metri al secondo e in metri
al secondo quadrato.
Esempio 2.-
Determinare l’istante
t d’arresto di un punto P in moto lungo una retta
secondo la legge oraria
.
Si ha:
.
Il punto d’arresto si
ottiene imponendo che la velocità sia nulla, ossia:
Esempio 3.-
Determinare l’istante
t in cui la velocità è minima di un punto P in moto
lungo una retta con legge oraria:
.
Si ha:
.
Risolvendo la
disequazione:
si vede che la velocità
è minima all’istante t = 5/12 sec, in quanto in
tale istante la funzione velocità ammette un minimo
(fig.1)
