14. Calcolo dell’equazione di un luogo geometrico.

 

a) Si dice luogo geometrico l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una assegnata proprietà Ã.

In un riferimento cartesiano Oxy è possibile rappresentare un luogo geometrico L mediante un’equazione del tipo:

 

1)                f(x,y) = 0,

 

ove (x,y) sono le coordinate del generico punto del luogo. La (1) si dice rappresentazione cartesiana del luogo, mentre si dice rappresentazione parametrica di L la seguente:

 

2)                

 

ove x = x( t ),  y = y( t ) dipendono dal parametro reale t variabile in un intervallo base [a,b].

Per determinare l’equazione di un luogo geometrico, nota che sia la proprietà Ã di cui godono i suoi punti, si può procedere in uno dei seguenti modi:

 

1° MODO

Si trasforma, mediante le nozioni di geometria analitica, la proprietà Ã in un’equazione nelle incognite x e y.

 

2° MODO

Si ricerca l’equazione del luogo in funzione parametrica di uno o più parametri, e successivamente si ricava l’equazione cartesiana eliminando i parametri introdotti.

 

 

Esempio 1.- In un piano Oxy sono dati i punti P(1,1) e Q(5,2). Determinare l’equazione del luogo L dei punti M(x,y) tali che: .         [ R.  ]

 

 

Esempio 2.- In un piano Oxy sono dati i punti R(4,1) e Q(8,5). Determinare l’equazione dei punti G, baricentro del triangolo RQM al variare di M sulla retta r d’equazione x - y + 5 = 0.

 

Denotiamo con (h,k) le coordinate del generico M appartenente alla retta r (fig. 1).