Problema N.3.

Dato il quadrato ABCD, il cui lato sia lungo a, si determini su AB un punto M, in modo che sia k il rapporto dei due solidi ottenuti facendo ruotare di un giro completo il trapezio MBCD una volta intorno alla retta AB, un’altra volta intorno alla retta AD.

[ Sessione suppletiva 1932]

Problema N.4.

a) Si studi la funzione  e se ne disegni il grafico. Detti A e B i punti corrispondenti agli estremi relativi  della funzione, si conduca per A la tangente alla curva in un punto C distinto da A e per B la tangente alla curva in un punto D distinto da B. Si calcoli l’area del quadrilatero convesso limitato dai segmenti AC e BD e dagli archi AD e BC della curva.

b) In una circonferenza di diametro  , si conduca una corda AC tale che sia

. Detto D il punto medio dell’arco BC, si determini x in modo che l’area del quadrilatero ACDB risulti massima.

[Estratto da Sessione suppletiva 1975 ]

Problema N.5.

a) In un sistema di assi coordinati cartesiani si considerino le parabole rappresentate dalle equazioni   e si determini il valore del parametro reale a in modo che sia minima la distanza fra i due vertici.

Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.

b) Dopo aver preso su una circonferenza di raggio unitario tre punti A, B, C, tali che AB = BC, si

studi la funzione   e se disegni il grafico ( avendo assunto una variabile indipendente a piacere ).

[ Estratto da Sessione suppletiva 1976 ]

Problema N. 6.

a) Fra le parabole del tipo  ( con c > 0 ), si determini quella per la quale i punti P di essa hanno minima distanza dall’origine O degli assi cartesiani di riferimento  sono tali che   .

Tracciate le tangenti alla parabola nei punti P’ e P’’ così determinati, si calcoli l’ara del triangolo mistilineo P’P’’T, dove T è il punto d’incontro delle tangenti e P’P’’ l’arco di parabola.

b) Si studino le funzioni    e se ne disegnino i grafici in un sistema cartesiano ortogonale. Si verifichi che i loro punti comuni stanno su una retta di cui si chiede l’equazione.

Si calcoli inoltre l’area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.

c) Dato l’angolo , si fissino sulla semiretta Ob i punti P, Q tali che siano ;  preso sulla semiretta Oa un punto A e posto , si studi la funzione

della quale si disegni il grafico nell’ipotesi  .

In questo caso particolare si costruiscano sulla semiretta Oa i punti aventi da P e da Q distanze che rendono massima o minima la y.

[ Estratto da Sessione suppletiva 1977 ]

Problema N. 7.

a) Data la funzione , se ne disegni il grafico.

Preso un punto P sull’arco di curva che appartiene al 1° quadrante, si conducano per esso le parallele agli asintoti che incontrano questi nei punti A e B rispettivamente e si determini la posizione di P per la quale è minima  la distanza dei segmenti PA e PB.

b) Data una circonferenza di diametro AB = 2r , si determino su di essa i punti tali che, condotti i segmenti perpendicolari al diametro ed alla tangente alla circonferenza in A, i rettangoli che si ottengono abbiano area massima.

c) Si studi la funzione  e se rappresenti il grafico in un riferimento ortogonale Oxy.

Sia A il punto di estremo relativo e B l’ulteriore punto d’intersezione della curva con la tangente in A. Si scriva l’equazione della parabola passante per A e tangente alla curva in B e si calcoli l’area della regione finita di piano limitata dalle due curve.

d) Si dimostri elementarmente che se due grandezze positive hanno somma costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali.

[ Sessione suppletiva 1979 ]