12. Problemi di massimo
e di minimo.
Per risolvere un
problema di massimo e di minimo si procede nel modo
seguente:
·
si
determina, tenendo conto dei dati del problema, la
funzione y = f(x) di cui si vuole ricercare il
massimo o il minimo;
·
si
stabilisce l’intervallo di variabilità dell’incognita x;
·
si calcola
il massimo e o il minimo;
Osserviamo
esplicitamente che
bisogna tener conto solo dei valori che appartengono
all’intervallo di variabilità della x.
Ricordiamo che
a)
se k è una costante reale le funzioni f(x)
e f(x) + k assumono, nello stesso intervallo, il
massimo e il minimo assoluti per gli stessi valori di
x;
b)
se k è una costante reale positiva le funzioni
f(x) e k×
f(x)
assumono, nello stesso intervallo, il massimo e il
minimo assoluti per gli stessi valori di x;
c)
se k è una
cosstante reale negativa il massimo ( risp. il minimo )
assoluto di f(x) ha luogo nel punto di minimo (
risp. di massimo) assoluto della funzione k×
f(x);
d)
se f(x) è una funzione positiva in I
Í
R le funzioni f(x) e [f(x)]n.
per n >0 assumono il massimo e il minimo assoluti per
gli stessi valori di x. In particolare cioè è
vero per le funzioni f(x) e [ f(x) ]2.
e)
se le funzioni f(x) e 1/f(x) sono definite
nello stesso intervallo I
Í
R l’una assume il valore massimo in corrispondenza del
mimino dell’altra e viceversa.
Esempio 1.-
Determinare il rettangolo di area massima inscritto in
un cerchio di diametro 2r.
Posto
,
applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACD
(fig. 1) si ha:
*)
.
Pertanto, l’area S del
rettangolo ABCD è
,
con 0 < x < 2r.
In virtù del punto d)
possiamo ricercare, nel campo di variabilità J = ]0,2r[
, il massimo della funzione:
**)
.
Pertanto, studiando il
segno della funzione derivata prima
si
vede che la la funzione ammette un punto di massimo per
.
Osserviamo,
infine, che per
il
rettangolo ABCD è un quadrato. Pertanto, tra
tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza di
raggio assegnato quello di area massima è il quadrato.