Guida per la prova scritta di matematica della
Maturità Scientifica
 - Giulio D. Broccoli
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12. Problemi di massimo e di minimo.

 

Per risolvere un problema di massimo e di minimo si procede nel modo seguente:

·       si determina, tenendo conto dei dati del problema, la funzione y = f(x) di cui si vuole ricercare il massimo o il minimo;

·       si stabilisce l’intervallo di variabilità dell’incognita x;

·       si calcola il massimo e o il minimo;

 

Osserviamo esplicitamente che bisogna tener conto solo dei valori che appartengono all’intervallo di variabilità della x.

 

 

Ricordiamo che

a) se k è una costante reale le funzioni  f(x) e f(x) + k assumono, nello stesso intervallo, il massimo e il minimo assoluti per gli stessi valori di x;

 

b) se k è una costante reale positiva le funzioni  f(x) e k× f(x) assumono, nello stesso intervallo, il massimo e il minimo assoluti per gli stessi valori di x;

 

c) se k è una cosstante reale negativa il massimo ( risp. il minimo ) assoluto di f(x) ha luogo nel punto di minimo ( risp. di massimo) assoluto della funzione k× f(x);

 

d) se f(x) è una funzione positiva in I Í R le funzioni f(x) e [f(x)]n.  per n >0 assumono il massimo e il minimo assoluti per gli stessi valori di x. In particolare cioè è vero per le funzioni f(x) e [ f(x) ]2.

 

e) se le funzioni f(x) e 1/f(x) sono definite nello stesso intervallo I Í  R l’una assume il valore massimo in corrispondenza del mimino dell’altra e viceversa.

 

 

Esempio 1.- Determinare il rettangolo di area massima inscritto in un cerchio di diametro 2r.

 

Posto , applicando il teorema di Pitagora al triangolo ACD (fig. 1) si ha:

 

*)       .

 

Pertanto, l’area S del rettangolo ABCD è , con 0 < x < 2r.

In virtù del punto d) possiamo ricercare, nel campo di variabilità J = ]0,2r[ , il massimo della funzione:

**)        .

 

Pertanto, studiando il segno della funzione derivata prima   si vede che la la funzione ammette un punto di massimo per  .

Osserviamo, infine, che per  il rettangolo ABCD è un quadrato. Pertanto, tra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza di raggio assegnato quello di area massima è il quadrato.

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