11. Massimi e minimi assoluti.

Sia y = f(x) una funzione definita e continua nell’intervallo chiuso[1] [a,b]Í R. Per determinare il massimo ( risp minimo) assoluto della funzione f(x) si procede nel seguente modo:

·       si determinano tutti i punti di massimo ( risp. minimo ) relativo;

·       si calcolano i valori  f(a) e f(b);

·       il massimo assoluto ( risp. minimo assoluto) è il più grande ( risp. il più piccolo) tra i valori che la funzione f(x) assume nei punti di massimo ( risp. minimo) relativo e i valori f(a) e f(b).

 

Esempio 1.- Calcolare il massimo e il minimo assoluto della funzione y = x³  - 2 x²   nell’intervallo  [ -1,4 ].

I punti x = 0 e x = 4/3 sono rispettivamente di massimo e di minimo relativo; inoltre si ha:

 

                y(0) = 0,    y(4/3) = -32/27,        y(-1) = -3,       y(4) = 32.

 

Pertanto, la funzione y presenta un massimo assoluto per x = 4 e un minimo assoluto per x = -1

 

 

Esempio 2.- Determinare gli eventuali massimi e minimi della funzione y = sen x + cos x  nell’intervallo [ 0, 3p / 2 ].

I punti di massimo e di minimo relativo hanno luogo per x = p/4 e x = 5p/4.

Risultando:

 

                y(p/4) = ,    y(5p/4) = - ,        y(0) = 1,       y(3p/2) = -1.

 

si deduce che i punti di massimo e minimo relativo sono anche di  massimo e minimo assoluto.