Guida pratica per la prova scritta di matematica della
 Maturità Scientifica

Problemi proposti

Riportiamo 25 problemi, composti da più quesiti, assegnati o alle sessioni suppletive o in anni precedenti al 1970.

I problemi sono corredati dai risultati  e da  un capitoletto di suggerimenti  per chi si fosse arenato nelle secche di un problema.

Problema N.1.

a) Date due parabole d’equazione:

        ,

si determinino le coordinate dei punti comuni, le equazioni delle tangenti comuni e le coordinate dei punti di contatto. Si calcoli poi l’area di una delle due regioni piane limitate dalle parabole e da una delle suddette tangenti. 

b) Si disegni la curva d’equazione  .

Si determinino le coordinate dei punti comuni ad essa ed alla sua simmetrica rispetto all’asse y e si calcoli l’area del quadrilatero convesso formato dalle tangenti alle due curve nei punti comuni d’ascissa non nulla. 

c)  Si studi la variazione della funzione   nell’intervallo .

 [ Estratto da Sessione suppletiva 1972 ]

 Problema N.2.

 a) Dato il triangolo rettangolo AOB di cateti  , si prenda sull’ipotenusa AB un punto P di cui sia Q la proiezione ortogonale su OB e si ponga . Si consideri la funzione   , essendo  e i volumi dei due solidi generati dalla rotazione completa del trapezio OAPQ attorno, rispettivamente, al cateto OA e al cateto OB e, indipendentemente dalla questione geometrica, la si studi per x variabile in tutto il campo reale. 

b) In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy siano date la parabola e le circonferenze di rispettive equazioni     e , essendo k un parametro reale.

Delle predette circonferenze si consideri quella che risulta tangente alla parabola ed appartiene al semipiano y ³0, si scrivano le equazioni delle rette tangenti comuni alla parabola stessa ed alla circonferenza e si dica qual è l’ampiezza dell’angolo a  formato dalle due tangenti.
Si calcoli infine l’area della regione finita di piano compresa fra la parabola e la circonferenza trovata. 

c) Si studi la variazione della funzione  nell’intervallo 0 £ x £ p.

 d) Si disegnino i grafici delle funzioni    e     e  si  scrivano le

equazioni dei rispettivi asintoti. Si calcoli poi la differenza fra l’area della regione piana delimitata dal secondo grafico e dall’asintoto obliquo, e l’area della regione formata dal primo grafico con l’asse delle ascisse.

 [ Sessione suppletiva 1973 ]