e) Condizione di perpendicolarità.

Due rette:

 

          r)   ax + by + c = 0    ,       r’)   a’x + b’y + c’ = 0

 

sono perpendicolari se e solo se:

 

2.3.8)        aa’ + bb’ = 0.

 

Se le rette r ed r’ hanno rispettivamente equazione y = mx + n e y = m’x + n’ la condizione di perpendicolarità è:

 

2.3.9)        m m’ = -1.

 

La condizione di perperndicolarità in funzione delle coppie di numeri direttori delle rette r ed r’ è:

 

2.3.10)       l l¢ + mm¢ = 0

 

ove (l,m)  ( risp. (l¢,m¢ )) è una coppia di numeri direttori della retta r ( risp. r’ ).

 

2.4.- Esercizi svolti.

 

N.1.- Scrivere l’equazione del fascio proprio di rette di centro A(-3;5).

 

Tenuto conto della (2.3.1) si ha che l’equazione del fascio proprio di centro A(-3;5) è:

                         

                        y - 15  + k(x + 3) = 0

 

ove , per comodità, abbiamo scelto, tra le  infinite   rette  passanti per A, quelle di equazioni  y - 15 = 0  e  x + 3 = 0.

 

 

N.2.- Scrivere   l’equazione  del  fascio  proprio di   rette   di  centro  P(-1/2;3/2).

 

Risulta:    y - 3/2 + k(x + 1/2) = 0   ossia    2y - 3 + k(2x + 1) = 0.

 

 

N.3.- Scrivere l’equazione del fascio  proprio individuato dalle rette di   equazioni:

    

                     x + y - 1 = 0    e    3x + 7y - 5 = 0.

 

Risulta:  x + y - 1 + k(3x + 7y - 5) = 0.