N.7.-
Scrivere l’equazione dell’ellisse tale che la differenza
dei semiassi sia
,
e la somma dell’eccentricità e del semiasse minore sia
Risolto il sistema
formato dalle equazioni:
si vede che l’equazione
dell’ellisse è: x2 + 2y2 = 40.
N.8.-
Stabilire l’equazione dell’ellisse tale che la
differenza dei suoi semiassi sia uguale ad 1 ed avente
il rettangolo ad essa circoscritto di area S = 20.
Il rettangolo ( fig. 1 )
circoscritto all’ellisse d’equazione (5.1.1) ha area S =
ab. Pertanto dalla relazione S = 20 si ricava
l’equazione:
ab = 20.
Mentre sapendo che la
differenza dei suoi semiassi è uguale ad 1 si ottiene la
relazione:
a - b = 1.
Pertanto l’equazione
dell’ellisse16x2 + 25y2 = 400.
N.9.-
Determinare l’equazione dell’ellisse tale che il
rettangolo inscritto con la base sull’asse x e
il lato opposto sulla retta y = 2 abbia area
ed
avente la somma dei semiassi uguale 11.
Le coordinate dei punti
R e P (fig.2) ottenute risolvendo il sistema formato
dalle equazioni y = 2, b2 x2
+ a2 y2 = a2 b2
sono:
.
Di conseguenza le
coordinate dei punti Q e T sono:
.
Quindi, tenuto conto che
,
si ha che l’area S del rettangolo PQTR è
;
e dall’essere S =
,
si ottiene l’equazione:
=
.
In definitiva risolvendo
il sistema formato dalle equazioni
=,
a + b = 11
si vede che
l’equazione dell’ellisse è:
.
N.10.-
Nell’ellisse d’equazione 4x2 + 5y2
= 20 inscrivere un rettangolo con i lati paralleli agli
assi coordinati e di perimetro p = 6.
ove y = k è
l’equazione del fascio di rette parallele all’asse x
; risulta:
.
Per simmetria si deduce
che le coordinate dei punti S e T sono:
.
Di conseguenza risulta
;
e quindi il perimetro p é dato da:
.
In definitiva tenuto
conto che p = 6 si ottiene l’equazione irrazionale:
avente soltanto la
soluzione
.
Pertanto, per
si
ottiene il rettangolo di vertici:
.