5. L’ellisse.

 

5.1.- Equazione dell’ellisse.

Si dice ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi  F₁  e  F₂  detti fuochi.

In un riferimento cartesiano Oxy l’equazione canonica dell’ellisse è:

 

 

5.1.1)                                                                               

                                                                                                                   

o equivalentemente:

    

5.1.2)                                    

 

con a> b numeri reali non nulli.                                                    

Nella  figura 1 abbiamo  accennato  il grafico di  un’iperbole .

Se  a < b la (5.1.1) rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y.

Se è a = b rappresenta una circonferenza d’equazione x² + y² = a² , di centro O e raggio a.

 

RICORDIAMO CHE

 

a) I punti  si dicono vertici dell’ellisse d’equazione (5.1.1);

 

b) I punti F₁ (- c , 0) e F₂ (c , 0) si dicono fuochi dell’ellisse d’equazione (5.1.1), e la distanza   semidistanza focale.
I punti F₁ (0, c) e F₂ (0, -c) sono i fuochi nel caso a < b.

 

c) La relazione:

 

5.1.3)            a²  - c²  =  b²  ,            ( risp.   (5.1.4)  c <  a )

 

si dice uguaglianza ( risp. disuguaglianza ) fondamentale dell’ellisse (5.1.1).
Notiamo che se l'ellisse ha i fuochi sull'asse y allora l'uguaglianza fondamentale é:  b²  - c²  =  a²  (con c < b).

 

d) Il rapporto:

5.1.5)                         se a > b                

 

5.1.5’)                        se a < b        

 

si dice eccentricità dell’ellisse (5.1.1). Risulta: 0 £ e < 1 1

e) I segmenti V₁V₃ , V₂V₄ si dicono rispettivamente asse maggiore e asse minore della (5.1.1), risulta:

                     ;

 

mentre i segmenti  si dicono rispettivamente semiasse maggiore e semiasse minore della (5.1.1), risulta:

 

                 

 

f) L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi x, y e all’origine O del riferimento:  pertanto se il punto P(x,y) appartiene all’ellisse anche i punti:

 

          P₁ ( -x , y)     simmetrico di P rispetto all’asse y,

          P₂ ( x , y )     simmetrico di P rispetto all’asse x,

           P₃ ( -x , -y )   simmetrico di P rispetto ad  O,

 

appartengono all’ellisse.

Il punto O si dice centro di simmetria o semplicemente centro dell’ellisse.

 

g) Si dice diametro d di un’ellisse la retta passante per i punti medi delle sue corde parallele.

Ogni diametro dell’ellisse (5.1.1) passa per il centro O, ed ha equazione:

 

5.1.6)                

 

ove m è il coefficiente angolare del fascio ( improprio) di corde parallele d’equazione y = mx + k, ( k parametro reale).

Due diametri d₁  e d₂ si dicono coniugati se i rispettivi coefficienti angolari m₁ e m₂ sono tali che:

 

5.1.7)                     

 

Due diametri coniugati che siano tra loro perpendicolari si dicono assi di simmetria; l’ellisse possiede soltanto due assi di simmetria.

 

h) Si dicono direttrici dell’ellisse (5.1.1) le rette di equazioni:

 

5.1.8)   

 

con  .