4. La parabola.

 

4.1.- Equazione della parabola.

La parabola è il luogo dei punti del piano  equidistanti da un punto fisso F ( detto fuoco)  e da una retta fissa d ( detta direttrice).

Se si assume come asse delle x la perpendicolare alla direttrice per il fuoco F e come asse delle y la retta asse del segmento FD (fig.1), con D punto d’intersezione della direttrice d con l’asse x, l’equazione di una parabola è:

 

In un riferimento cartesiano Oxy, una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y ( risp. asse x ) è rappresentata da un’ equazione del tipo:

 

4.1.2)     y = ax² + bx + c                     ( risp.   (  4.1.2’ )   x = ay² + by + c )

 

Gli elementi fondamentali di una parabola sono:

Vertice

Le coordinate del vertice V sono date dalle seguenti formule:

 

4.1.3 )                                 risp.  ( 4.1.3’ )      

 

Fuoco

Le  coordinta del fuoco  F sono date dalle seguenti formule:

 

 4.1.4)                                 risp.    4.1.4’ )     

 

Asse di simmetria

L’equazione dell’asse di simmetria è:

4.1.5 )                                                   risp.    4.1.5’ ) 

 

Retta direttrice

L’equazione della retta direttrice è:

 

4.1.6 )                                      risp.    4.1.6 ‘ )     

 

Diametri

Si dice diametro di una parabola la retta passante per i punti medi delle sue corde parallele. Tutti i diametri sono paralleli all’asse di simmetria della parabola.

L’equazione del diametro relativo al fascio di rette y = m₀ x + k è:

 

4.1.7)                                                 (risp. 4.1.7’ )     )

 

per la parabola (4.1.2) (risp. (4.1.2’ )).

 

Concavità e convessità

Ricordiamo inoltre che per  a > 0 ( risp. a < 0 ) la parabola  d’equazione (4.1.2)  volge la concavità nella direzione positiva ( risp. negativa ) dell’asse y ( fig.2 ); mentre la parabola d’equazione ( 4.1.2‘ ) per a > 0 ( risp. a < 0 ) volge la concavità nella direzione  positiva (risp. negativa ) dell’asse x ( fig.3).