che si dicono equazioni canoniche di una conica. La (7.2.1) si ottiene assumendo come assi coordinati gli assi di simmetria dell’ellisse ( risp. iperbole)[1] ; mentre la (7.2.2) si ottiene assumendo il riferimento Oxy in modo che l’asse della parabola sia l’asse x e il vertice l’origine del riferimento.

Per ottenere l’equazione canonica (7.2.1) ( risp. 7.2.2) della conica, nota che sia l’equazione (7.1.1) basta determinare i coefficienti A, B e C  ( risp. D, E ) risolvendo il sistema:

 

7.2.3)   

 

ove i numeri

        ,

 

            ,

 

 I = a + c

 

sono gli invarianti ortogonali della conica: D si dice invariante cubico,  d invariante quadratico e I invariante lineare.

 

RICORDIAMO CHE

a) La (7.2.1) rappresenta un’ellisse reale se i coefficienti A, B e C hanno i segni  +, +, -  ( o una terna equivalente)[2], ed è trasformabile nella (5.1.1) nel seguente modo:

 

      

 

da cui posto   si ha  la (5.1.1): .

 

b) La (7.2.1) rappresenta un’iperbole reale se i coefficienti A, B e C hanno i segni  +, -, -  ( o una terna equivalente), ed è trasformabile nella (6.1.1) nel seguente modo:

 

      

 

da cui posto   si ha  la (5.1.1): .

 

c) Se i coefficienti A, B e C hanno i segni  +, -, -  (o una terna equivalente) la (7.2.1) rappresenta un’iperbole reale con l’asse trasverso sull’asse y.