7. Le coniche.
- Apollonio da Perge -

 

7.1.- Equazione canonica di una conica.

 

Si dice conica l’insieme dei punti del piano le cui coordinate, in un riferimento Oxy, verificano una equazione del tipo:

 

7.1.1)            

 

con a, b, c, d, e, f numeri reali non tutti nulli. Il numero reale:

 

7.1.2)            

 

si dice determinante della conica d’equazione (7.1.1).

 

RICORDIAMO CHE

a) Se è D = 0 la conica (7.1.1) si dice riducibile o degenere, e si sdoppia in una coppia di rette eventualmente coincidenti o parallele, che si dicono componenti della conica.

 

b) Se è  D ¹ 0 la conica (7.1.1) si dice irriducibile o non degenere. Risulta:

 

     i) la (7.1.1) rappresenta un’ellisse se: ;

    ii) la (7.1.1) rappresenta un’iperbole se: ;

   iii) la (7.1.1) rappresenta una parabola se: .

 

Notiamo che nell’ipotesi d > 0 la (7.1.1) è:

 

• un’ellisse reale se aD < 0
• immaginaria se  aD > 0

 

 

7.2. Riduzione a forma canonica di una conica non degenere.

 

L’equazione (7.1.1) di una conica non degenere, scegliendo in modo opportuno il sistema di riferimento Oxy, può sempre scriversi in uno dei seguenti modi:

 

7.2.1)             Ax² + By² + C = 0     ( ellisse o iperbole )

 

7.2.2)             Dy² + 2Cx² = 0          ( parabola)