6. L’iperbole.

 

6.1.- Equazione dell’iperbole.

Si dice iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante, in valore assoluto, la differenza delle distanze da due punti fissi  F₁  e  F₂  detti fuochi.

In un riferimento cartesiano Oxy l’equazione canonica dell’iperbole è:

 

6.1.1)                                                                               

                                                                                                                   

o equivalentemente:

    

6.1.2)                                    

 

con a , b numeri reali non nulli.                                                    

Nella  figura 1 abbiamo  accennato  il grafico di  un’iperbole .

L’equazione:                                                                                        

 

6.1.2’ )    

 

rappresenta un’iperbole con i vertici sull’asse y.
Le (6.1.1) e (6.1.2’), in uno stesso riferimento Oxy e per uguali valori di a e b, si dicono iperboli coniugate.

 

RICORDIAMO CHE

a) I punti  si dicono vertici dell’iperbole d’equazione (6.1.1), e il  rettangolo ABCD si dice rettangolo di base relativo all’iperbole;

 

b) I punti F₁ ( c , 0) e F₂ (-c , 0) si dicono fuochi dell’iperbole d’equazione (6.1.1), e    semidistanza focale.
I fuochi dell’iperbole (6.1.2’ ) sono invece: F₁ ( 0, c) e F₂ (0, -c).

 

c) La relazione:

 

6.1.3)            a²  + b²  =  c²  ,            ( risp.   (6.1.4)  a <  c )

 

si dice uguaglianza ( risp. disuguaglianza ) fondamentale dell’iperbole (6.1.1);
la (6.1.3) si può ovviamente scrivere anche così:   b²  =  c² - a² oppure a²  =  c² - b².

 

d) Il rapporto:

 

6.1.5)                             (risp.  e = c/b )

 

si dice eccentricità dell’iperbole (6.1.1) (risp. 6.1.2’). Risulta:  e > 1.

 

e) I segmenti V₁V₃ , V₂V₄ si dicono rispettivamente asse trasverso e asse non trasverso dell’iperbole (6.1.1), risulta:   ; i punti V_1, V₃ si dicono vertici reali dell'iperbole,  i punti V_2, V₄ si dicono vertici immaginari.